miniatura|Una forma (en blau) i la seva dilatació morfològica (en verd) i erosió (en groc) per un element estructurant en forma de diamant. La morfologia matemàtica (MM) és una teoria i tècnica per analitzar i processar estructures geomètriques. Es basa en la teoria de conjunts, la teoria de xarxes, la topologia i les funcions aleatòries. La MM s'aplica més habitualment a imatges digitals, però també es pot emprar en gràfics, malles superficials, sòlids i moltes altres estructures espacials.
Els conceptes topològics i geomètrics de l'espai continu, com ara la mida, la forma, la convexitat, la connectivitat i la distància geodèsica, van ser introduïts per MM tant en espais continus com discrets. MM també és la base del processament digital d'imatges, que consisteix en un conjunt d'operadors que transformen les imatges segons les caracteritzacions anteriors.
Els operadors morfològics bàsics són l'erosió, la dilatació, l'obertura i el tancament.
MM es va desenvolupar originalment per a imatges binàries, i posteriorment es va ampliar a funcions i imatges en escala de grisos. La generalització posterior a xarxes completes és àmpliament acceptada avui dia com a fonament teòric de MM.
Història La morfologia matemàtica va ser desenvolupada el 1964 gràcies al treball col·laboratiu de Georges Matheron i Jean Serra, a lÉcole des Mines de París, França. Matheron va supervisar la tesi doctoral de Serra, dedicada a la quantificació de les característiques dels minerals a partir de seccions transversals primes, i aquest treball va donar lloc a un nou enfocament pràctic, així com a avenços teòrics en geometria integral i topologia.
El 1968, el Centre de Morphologie Mathématique va ser fundat per l'École des Mines de París a Fontainebleau, França, dirigida per Matheron i Serra.
Durant la resta de la dècada del 1960 i la major part de la del 1970, la metodologia multimèdia (MM) va tractar essencialment imatges binàries, tractades com a conjunts, i va generar un gran nombre d'operadors i tècniques binaris: transformada encertada o errada, dilatació, erosió, obertura, tancament, granulometria, aprimament, esqueletització, erosió final, bisectriu condicional i altres. També es va desenvolupar un enfocament aleatori, basat en nous models d'imatges. La major part del treball d'aquest període es va desenvolupar a Fontainebleau.
Des de mitjans dels anys setanta fins a mitjans dels vuitanta, la MM es va generalitzar a funcions i imatges en escala de grisos. A més d'estendre els conceptes principals (com ara la dilatació, l'erosió, etc.) a les funcions, aquesta generalització va produir nous operadors, com ara gradients morfològics, transformada top-hat i la conca hidrogràfica (el principal enfocament de segmentació de MM).
A les dècades del 1980 i del 1990, el MM va obtenir un reconeixement més ampli, ja que els centres de recerca de diversos països van començar a adoptar i investigar el mètode. El MM va començar a aplicar-se a un gran nombre de problemes i aplicacions d'imatge, especialment en el camp del filtratge no lineal d'imatges sorolloses.
El 1986, Serra va generalitzar encara més la MM, aquesta vegada a un marc teòric basat en xarxes completes. Aquesta generalització va aportar flexibilitat a la teoria, permetent la seva aplicació a un nombre molt més gran d'estructures, incloent-hi imatges en color, vídeo, gràfics, malles, etc. Al mateix temps, Matheron i Serra també van formular una teoria per al filtratge morfològic, basada en el nou marc de xarxa.
Les dècades del 1990 i del 2000 també van veure més avenços teòrics, inclosos els conceptes de connexions i anivellacions.
El 1993, el primer Simposi Internacional de Morfologia Matemàtica (ISMM) va tenir lloc a Barcelona, Espanya. Des de llavors, els ISMM s'organitzen cada 2 o 3 anys: Fontainebleau, França (1994); Atlanta, EUA (1996); Amsterdam, Països Baixos (1998); Palo Alto, Califòrnia, EUA (2000); Sydney, Austràlia (2002); París, França (2005); Rio de Janeiro, Brasil (2007); Groningen, Països Baixos (2009); Intra ( Verbania ), Itàlia (2011); Uppsala, Suècia (2013); Reykjavík, Islàndia (2015); Fontainebleau, França (2017); i Saarbrücken, Alemanya (2019).
Morfologia binària En morfologia binària, una imatge es veu com un subconjunt d'un espai euclidià o la quadrícula entera , per a alguna dimensió d.
Element estructurant
La idea bàsica de la morfologia binària és sondejar una imatge amb una forma simple i predefinida, extraient conclusions sobre com aquesta forma encaixa o no amb les formes de la imatge. Aquesta simple "sonda" s'anomena element estructurant, i és en si mateixa una imatge binària (és a dir, un subconjunt de l'espai o la quadrícula).
Aquí teniu alguns exemples d'elements estructurals àmpliament utilitzats (indicats per ):
Sigui ; és un disc obert de radi , centrada a l'origen. Sigui ; és un quadrat, és a dir, . Sigui ; és la «creu» donada per .
Operadors bàsics Les operacions bàsiques són operadors invariants en desplaçament (invariants en translació) fortament relacionats amb l'addició de Minkowski.
Sigui E un espai euclidià o una malla entera, i A una imatge binària a E. Erosió miniatura|L'erosió del quadrat blau fosc per un disc, que dóna com a resultat el quadrat blau clar. L'erosió de la imatge binària per l'element estructurant es defineix per
on és la traducció de pel vector , és a dir,
Quan l'element estructurant té un centre (per exemple, és un disc o un quadrat), i aquest centre es troba a l'origen de , aleshores l'erosió de per es pot entendre com el lloc geomètric dels punts assolits pel centre de quan es mou cap a dins Per exemple, l'erosió d'un quadrat de costat , centrat a l'origen, per un disc de radi , també centrat a l'origen, és un quadrat de costat centrat a l'origen.
L'erosió de per també ve donat per l'expressió
Exemple d'aplicació: Suposem que hem rebut un fax d'una fotocòpia fosca. Tot sembla que s'ha escrit amb un bolígraf que sagna. El procés d'erosió permetrà que les línies més gruixudes s'apriman i es detecti el forat dins de la lletra "o".
Dilatació miniatura|La dilatació del quadrat blau fosc per un disc, donant com a resultat el quadrat blau clar amb cantonades arrodonides. La dilatació d' A per l'element estructurant B es defineix per
La dilatació és commutativa, també donada per .
Si B té un centre a l'origen, com abans, aleshores la dilatació d'''A per B es pot entendre com el lloc geomètric dels punts coberts per B quan el centre de B es mou dins d'A. En l'exemple anterior, la dilatació del quadrat del costat 10 pel disc de radi 2 és un quadrat de costat 14, amb cantonades arrodonides, centrat a l'origen. El radi de les cantonades arrodonides és 2.
La dilatació també es pot aconseguir mitjançant , on Bs denota la simetria de B, és a dir, .
Exemple d'aplicació: la dilatació és l'operació dual de l'erosió. Les figures que es dibuixen molt lleugerament s'engruixen quan es "dilaten". La manera més fàcil de descriure-ho és imaginar que el mateix fax/text s'escriu amb un bolígraf més gruixut.
Obertura miniatura|L'obertura del quadrat blau fosc per un disc, donant com a resultat el quadrat blau clar amb cantonades arrodonides. L'obertura d'A per B s'obté mitjançant l'erosió dA per B, seguida de la dilatació de la imatge resultant per B :
L'obertura també ve donada per , la qual cosa significa que és el lloc geomètric de les translacions de l'element estructurant B dins de la imatge A. En el cas del quadrat de costat 10, i un disc de radi 2 com a element estructurant, l'obertura és un quadrat de costat 10 amb cantonades arrodonides, on el radi de la cantonada és 2.
Exemple d'aplicació: Suposem que algú ha escrit una nota en un paper que no s'impregna i que sembla que l'escriptura li creixin petites arrels peludes per tot arreu. L'obertura essencialment elimina les petites fuites exteriors i restaura el text. L'efecte secundari és que arrodoneix les coses. Les vores nítides comencen a desaparèixer.
Tancament miniatura|El tancament de la forma blau fosc (unió de dos quadrats) per un disc, que resulta en la unió de la forma blau fosc i les àrees blau clar. El tancament d' A per B s'obté mitjançant la dilatació d' A per B, seguida de l'erosió de l'estructura resultant per B :
El tancament també es pot obtenir mitjançant , on X c denota el complement de X respecte a E (és a dir, ). L'anterior significa que el tancament és el complement del lloc geomètric de les translacions de la simetria de l'element estructurant fora de la imatge A. Propietats dels operadors bàsics Aquí teniu algunes propietats dels operadors morfològics binaris bàsics (dilatació, erosió, obertura i tancament):
Són invariants a la traducció. Estan augmentant, és a dir, si , aleshores , i , etc. La dilatació és commutativa: . Si l'origen d' E pertany a l'element estructurant B, aleshores . La dilatació és associativa, és a dir, A més, l'erosió satisfà . L'erosió i la dilatació satisfan la dualitat . L'obertura i el tancament satisfan la dualitat . La dilatació és distributiva sobre la unió de conjunts. L'erosió és distributiva sobre la intersecció del conjunt. La dilatació és una pseudoinversa de l'erosió, i viceversa, en el sentit següent: si i només si . L'obertura i el tancament són idempotents. L'obertura és antiextensiva, és a dir, , mentre que el tancament és extens, és a dir, .
Morfologia en escala de grisos miniatura|Conca hidrogràfica del gradient de la imatge cardíaca En la morfologia en escala de grisos, les imatges són funcions que mapegen un espai o quadrícula euclidià E en , on és el conjunt dels reals, és un element més gran que qualsevol nombre real, i és un element més petit que qualsevol nombre real.
Els elements estructurants en escala de grisos també són funcions del mateix format, anomenades "funcions estructurants".
Denotant una imatge per f ( x ), la funció d'estructuració per b ( x) i el suport de b per B, la dilatació en escala de grisos de f per b ve donada per
on "sup" denota el suprem.
De la mateixa manera, l'erosió de f per b ve donada per
on "inf" denota l'ínfim.
Igual que en la morfologia binària, l'obertura i el tancament es donen respectivament per
Funcions d'estructuració plana
És comú utilitzar elements d'estructuració plana en aplicacions morfològiques. Les funcions d'estructuració plana són funcions b ( x) en la forma
on .
En aquest cas, la dilatació i l'erosió es simplifiquen molt i es donen respectivament per
En el cas discret i limitat (E és una quadrícula i B està limitada), els operadors suprem i ínfim es poden substituir pel màxim i el mínim. Així, la dilatació i l'erosió són casos particulars de filtres d'estadístiques d'ordre, on la dilatació retorna el valor màxim dins d'una finestra mòbil (la simètrica del suport de la funció d'estructuració B ), i l'erosió retorna el valor mínim dins de la finestra mòbil B.En el cas d'elements d'estructuració plans, els operadors morfològics depenen només de l'ordre relatiu dels valors dels píxels, independentment dels seus valors numèrics, i per tant són especialment adequats per al processament d'imatges binàries i imatges en escala de grisos la funció de transferència de llum de les quals no es coneix.
Morfologia matemàtica en xarxes completes Les xarxes completes són conjunts parcialment ordenats, on cada subconjunt té un ínfim i un suprem. En particular, conté un element mínim i un element màxim (també denotat com a "univers").
Adjuncions (dilatació i erosió) sIGUI una xarxa completa, amb l'ínfim i el suprem simbolitzats per i , respectivament. El seu univers i el seu element més petit es simbolitzen per U i , respectivament. A més, sigui una col·lecció d'elements de L.Una dilatació és qualsevol operador que es distribueix sobre el suprem i conserva el mínim d'elements. És a dir:
, .
Una erosió és qualsevol operador que es distribueix sobre l'ínfim i preserva l'univers. És a dir:
, .