En física, especialment en la teoria quàntica de camps, la regularització és un mètode de modificació d'observables que tenen singularitats per tal de fer-los finits mitjançant la introducció d'un paràmetre adequat anomenat regulador. El regulador, també conegut com a "tall", modela la nostra manca de coneixement sobre la física a escales no observades (per exemple, escales de mida petita o grans nivells d'energia). Compensa (i requereix) la possibilitat de separació d'escales que permeti descobrir una "nova física" a aquelles escales que la teoria actual no pot modelar, alhora que permet que la teoria actual doni prediccions precises com una "teoria eficaç" dins de la seva escala d'ús prevista.
És diferent de la renormalització, una altra tècnica per controlar infinits sense assumir una nova física, ajustant la retroalimentació d'autointeracció.
La regularització va ser durant moltes dècades controvertida fins i tot entre els seus inventors, ja que combina afirmacions físiques i epistemològiques en les mateixes equacions. Tanmateix, ara es coneix bé i ha demostrat que proporciona prediccions útils i precises.
Visió general Els procediments de regularització tracten expressions infinites, divergents i sense sentit introduint el concepte auxiliar de regulador (per exemple, la distància mínima a l'espai, cosa que és útil si les divergències sorgeixen d'efectes físics a curta distància). El resultat físic correcte s'obté en el límit en què el regulador s'allunya (en el nostre exemple, ), però la virtut del regulador és que, pel seu valor finit, el resultat és finit.
Tanmateix, el resultat normalment inclou termes proporcionals a expressions com que no estan ben definits en el límit La regularització és el primer pas per obtenir un resultat completament finit i significatiu; en la teoria quàntica de camps, normalment ha d'anar seguida d'una tècnica relacionada, però independent, anomenada renormalització. La renormalització es basa en el requisit que algunes quantitats físiques — expressades per expressions aparentment divergents com ara — són iguals als valors observats. Aquesta restricció permet calcular un valor finit per a moltes altres quantitats que semblaven divergents.
L'existència d'un límit quan ε tendeix a zero i la independència del resultat final del regulador són fets no trivials. La raó subjacent rau en la universalitat, com ho demostren Kenneth G. Wilson i Leo Kadanoff, i l'existència d'una transició de fase de segon ordre. De vegades, no és possible prendre el límit quan ε tendeix a zero. Com és el cas del pol de Landau i per acoblaments no renormalitzables com la interacció de Fermi. Tanmateix, fins i tot per a aquests dos exemples, si el regulador només dóna resultats raonables per a (on és un tall d'energia superior) i estem treballant amb escales de l'ordre de , reguladors amb encara donen aproximacions força precises. La raó física per la qual no podem prendre el límit de ε que va a zero és l'existència de nova física per sota de Λ.
No sempre és possible definir una regularització de manera que el límit de ε que tendeixi a zero sigui independent de la regularització. En aquest cas, es diu que la teoria conté una anomalia. Les teories anòmales s'han estudiat amb gran detall i sovint es basen en el cèlebre teorema de l'índex d'Atiyah-Singer o en variacions d'aquest (vegeu, per exemple, l'anomalia quiral).
Exemple de física clàssica El problema dels infinits va sorgir per primera vegada en l'electrodinàmica clàssica de partícules puntuals al segle XIX i principis del XX.
La massa d'una partícula carregada hauria d'incloure la massa-energia del seu camp electroestàtic (massa electromagnètica). Suposem que la partícula és una closca esfèrica carregada de radi . La massa-energia del camp és
que esdevé infinit quan Això implica que la partícula puntual tindria una inèrcia infinita, cosa que la faria incapaç de ser accelerada. A més, el valor de que fa igual a la massa de l'electró s'anomena radi de l'electró clàssic, que (estableix i restaurant els factors de i ) resulta ser
on és la constant d'estructura fina, i és la longitud d'ona de Compton de l'electró.
Regularització: La teoria de la física clàssica es descompon a petites escales, p. ex., la diferència entre un electró i una partícula puntual que es mostra a dalt. Abordar aquest problema requereix nous tipus de restriccions físiques addicionals. Per exemple, en aquest cas, assumir un radi d'electró finit (és a dir, regularitzar la massa-energia de l'electró) és suficient per explicar el sistema per sota d'una determinada mida. Arguments de regularització similars funcionen en altres problemes de renormalització. Per exemple, una teoria pot ser vàlida sota un conjunt estret de condicions, però a causa de càlculs que impliquen infinits o singularitats, pot descompondre's sota altres condicions o escales. En el cas de l'electró, una altra manera d'evitar la massa-energia infinita mantenint la naturalesa puntual de la partícula és postular petites dimensions addicionals sobre les quals la partícula podria "escampar-se" en lloc de restringir el seu moviment únicament sobre l'espai 3D. Aquesta és precisament la motivació darrere de la teoria de cordes i altres models multidimensionals que inclouen múltiples dimensions temporals. En lloc de l'existència d'una nova física desconeguda, assumint l'existència d'interaccions de partícules amb altres partícules circumdants a l'entorn, la renormalització ofereix una estratègia alternativa per resoldre infinits en aquests problemes clàssics.
Tipus específics Els tipus específics de procediments de regularització inclouen
Regularització causalScharf, G.: Finite Quantum Electrodynamics: The Causal Approach, Springer 1995. Regularització dimensional Regularització d'Hadamard Regularització de la xarxa Regularització de Pauli-Villars Regularització de Zeldovich Regularització de la funció zeta
Regularització realista Problema conceptual Les prediccions pertorbatives de la teoria quàntica de camps sobre la dispersió quàntica de partícules elementals, implicades per una densitat lagrangiana corresponent, es calculen utilitzant les regles de Feynman. Tanmateix, es necessita un mètode de regularització per evitar les divergències ultraviolades per tal d'obtenir resultats finits per a diagrames de Feynman que contenen bucles. També es necessita un esquema de renormalització. La regularització dóna lloc a funcions de Green de n punts regularitzades (propagadors) i un procediment limitador adequat (un esquema de renormalització) que condueix a elements pertorbatius de la matriu S. Aquests són independents del mètode de regularització particular utilitzat i permeten modelar pertorbativament els processos físics mesurables (seccions transversals, amplituds de probabilitat, amplituds de decaïment i temps de vida dels estats excitats). Tanmateix, fins ara no es pot considerar que cap funció de Green regularitzada de n punts coneguda es basi en una teoria físicament realista de la dispersió quàntica, ja que la derivació de cadascuna ignora alguns dels principis bàsics de la física convencional (per exemple, en no ser invariant de Lorentz, introduint partícules no físiques amb una mètrica negativa o estadístiques incorrectes, o espai-temps discret, o reduint la dimensionalitat de l'espai-temps, o alguna combinació d'aquests). Per tant, els mètodes de regularització disponibles s'entenen com a dispositius tècnics formalistes, desproveïts de cap significat físic directe. A més, hi ha escrúpols sobre la renormalització. Per a una història i comentaris sobre aquest problema conceptual obert de més de mig segle, vegeu per exempleL. M.Brown, editor, Renormalization (Springer-Verlag, New York 1993).
La conjectura de Pauli Com que sembla que els vèrtexs de les sèries de Feynman no regularitzades descriuen adequadament les interaccions en la dispersió quàntica, es considera que les seves divergències ultraviolades es deuen al comportament asimptòtic i d'alta energia dels propagadors de Feynman. Per tant, és un enfocament prudent i conservador retenir els vèrtexs de les sèries de Feynman i modificar només els propagadors de Feynman per crear una sèrie de Feynman regularitzada. Aquest és el raonament darrere de la regularització covariant formal de Pauli-Villars mitjançant la modificació dels propagadors de Feynman a través de partícules auxiliars no físiques, cf. i la representació de la realitat física mitjançant diagrames de Feynman.
El 1949, Wolfgang Pauli va conjecturar que hi ha una regularització realista, que està implicada per una teoria que respecta tots els principis establerts de la física contemporània. Per tant, els seus propagadors (i) no necessiten ser regularitzats, i (ii) es poden considerar com una regularització dels propagadors utilitzats en les teories quàntiques de camps que podria reflectir la física subjacent. No cal eliminar els paràmetres addicionals d'aquesta teoria (és a dir, la teoria no necessita renormalització) i poden proporcionar informació nova sobre la física de la dispersió quàntica, tot i que experimentalment poden resultar insignificants. En canvi, qualsevol mètode de regularització actual introdueix coeficients formals que finalment s'han d'eliminar mitjançant la renormalització.
Opinions Paul Dirac va ser persistentment i extremadament crític amb els procediments de renormalització. El 1963, va escriure: "... en la teoria de la renormalització tenim una teoria que ha desafiat tots els intents dels matemàtics de fer-la vàlida. M'inclino a sospitar que la teoria de la renormalització és una cosa que no sobreviurà en el futur,..." Va observar a més que "Es poden distingir entre dos procediments principals per a un físic teòric. Un d'ells és treballar des de la base experimental... L'altre procediment és treballar des de la base matemàtica. S'examina i es critica la teoria existent. S'intenta identificar els defectes que hi ha i després s'intenta eliminar-los. La dificultat aquí és eliminar els defectes sense destruir els grans èxits de la teoria existent."
Abdus Salam va comentar el 1972: "Els infinits de la teoria de camps que es troben per primera vegada en el càlcul de l'electró de Lorentz han persistit en l'electrodinàmica clàssica durant setanta anys i en l'electrodinàmica quàntica durant uns trenta-cinc anys. Aquests llargs anys de frustració han deixat en el subjecte una curiosa afecció pels infinits i una creença apassionada que són una part inevitable de la natura; tant és així que fins i tot el suggeriment d'una esperança que, després de tot, es puguin eludir -i es calculin valors finits per a les constants de renormalització- es considera irracional."
Tanmateix, segons Gerard 't Hooft, "la història ens diu que si ens trobem amb algun obstacle, fins i tot si sembla una pura formalitat o només una complicació tècnica, cal examinar-lo acuradament. La natura ens podria estar dient alguna cosa, i hem d'esbrinar què és".G. ’t Hooft, In Search of the Ultimate Building Blocks (Cambridge University Press, Cambridge 1997).
La dificultat amb una regularització realista és que fins ara no n'hi ha cap, tot i que no es podria destruir res amb el seu enfocament de baix a dalt; i no hi ha cap base experimental per a això.
Regularització mínimament realista