El teorema de Wick és un mètode per reduir derivades d'ordre superior a un problema de combinatòria. Rep el nom del físic italià Gian Carlo Wick. S'utilitza àmpliament en la teoria quàntica de camps per reduir productes arbitraris d'operadors de creació i aniquilació a sumes de productes de parells d'aquests operadors. Això permet l'ús de mètodes de funció de Green i, en conseqüència, l'ús de diagrames de Feynman en el camp en estudi. Una idea més general en la teoria de la probabilitat és el teorema d'Isserlis.

En la teoria quàntica de camps pertorbativa, el teorema de Wick s'utilitza per reescriure ràpidament cada sumand ordenat en el temps de la sèrie de Dyson com una suma de termes ordenats normals. En el límit dels estats d'entrada i sortida asimptòticament lliures, aquests termes corresponen als diagrames de Feynman.

Definició de contracció Per a dos operadors i definim la seva contracció com a

on denota l'ordre normal d'un operador Alternativament, les contraccions es poden denotar mitjançant una línia que uneix i , com .

Analitzarem detalladament quatre casos especials en què i són iguals als operadors de creació i aniquilació. Per a modes bosònics o fermiònics, denotarem els operadors de creació per i els operadors d'anihilació per Satisfen les relacions de commutació per a operadors bosònics , o les relacions d'anticommutació per a operadors fermiònics on denota el delta de Kronecker i denota l'operador d'identitat.

Aleshores tenim

on .

Aquestes relacions són vàlides per a operadors bosònics o fermiònics a causa de la manera com es defineix l'ordenació normal.

Exemples Podem utilitzar contraccions i ordenació normal per expressar qualsevol producte d'operadors de creació i aniquilació com una suma de termes ordenats normalment. Aquesta és la base del teorema de Wick. Abans d'enunciar completament el teorema, veurem alguns exemples.

Suposem i són operadors bosònics que satisfan les relacions de commutació:

on , denota el commutador, i és el delta de Kronecker.

Podem utilitzar aquestes relacions, i la definició anterior de contracció, per expressar productes de i d'altres maneres.

Exemple 1

Tingueu en compte que no hem canviat sinó que simplement ho va reexpressar d'una altra forma com

Exemple 2

Exemple 3

A l'última línia hem utilitzat diferents nombres de símbols per denotar diferents contraccions. Aplicant repetidament les relacions de commutació, cal molta feina per expressar en forma d'una suma de productes normalment ordenats. És un càlcul encara més llarg per a productes més complicats.

Per sort, el teorema de Wick ofereix una drecera.

Enunciat del teorema Un producte dels operadors de creació i aniquilació es pot expressar com

En altres paraules, una cadena d'operadors de creació i aniquilació es pot reescriure com el producte d'ordenació normal de la cadena, més el producte d'ordenació normal després de totes les contraccions simples entre parells d'operadors, més totes les contraccions dobles, etc., més totes les contraccions completes.

L'aplicació del teorema als exemples anteriors proporciona un mètode molt més ràpid per arribar a les expressions finals.

Avís: En els termes del costat dret que contenen múltiples contraccions, cal anar amb compte quan els operadors són fermiònics. En aquest cas, s'ha d'introduir un signe menys apropiat d'acord amb la regla següent: reorganitzar els operadors (introduint signes menys sempre que s'intercanviï l'ordre de dos operadors fermiònics) per assegurar-se que els termes contrets siguin adjacents a la cadena. Aleshores es pot aplicar la contracció (vegeu la "Regla C" a l'article de Wick).

Si tenim dos fermions ( ) amb operadors de creació i aniquilació i ( ) llavors

Cal tenir en compte que el terme amb les contraccions dels dos operadors de creació i dels dos operadors d'aniquilació no s'inclou perquè les seves contraccions s'anul·len.

Prova La inducció s'utilitza per demostrar el teorema dels operadors de creació i aniquilació bosònica. El cas base és trivial, perquè només hi ha una contracció possible:

En general, les úniques contraccions diferents de zero són entre un operador d'anihilació a l'esquerra i un operador de creació a la dreta. Suposem que el teorema de Wick és cert per a operadors , i considereu l'efecte d'afegir un operador N- èsim a l'esquerra de formar Pel teorema de Wick aplicat a operadors, tenim:

és un operador de creació o un operador d'anihilació. Si és un operador de creació, tots els productes anteriors, com ara , ja estan ordenats normalment i no requereixen cap manipulació addicional.

Ara, suposem que és un operador d'aniquilació. Per moure del costat esquerre al costat dret de tots els productes, intercanviem repetidament amb l'operador immediatament a la dreta (anomeneu-lo ), cada vegada que s'aplica per tenir en compte la no commutativitat. Un cop fet això, tots els termes tindran l'ordre normal. Tots els termes sumats a les sumes prement a través dels productes corresponen a contraccions addicionals que impliquen Per tant, si és un operador d'aniquilació, el teorema de Wick es compleix per a .

Hem demostrat el cas base i el pas d'inducció, de manera que el teorema és cert. Introduint els signes menys adequats, la demostració es pot estendre als operadors de creació i aniquilació fermiònica. El teorema aplicat als camps es demostra essencialment de la mateixa manera.

Teorema de Wick aplicat a camps La funció de correlació que apareix en la teoria quàntica de camps es pot expressar mitjançant una contracció dels operadors de camp:

on l'operador

és el component que no anul·la l'estat de buit Això vol dir que Això vol dir que és una contracció sobre . Tingueu en compte que la contracció d'una cadena ordenada temporalment de dos operadors de camp és un nombre C.

Finalment, arribem al teorema de Wick:

El producte T d'una cadena de camps lliures ordenada temporalment es pot expressar de la manera següent:

Aplicant aquest teorema als elements de la matriu S, descobrim que els termes d'ordre normal que actuen en estat de buit donen una contribució nul·la a la suma. Concloem que m és parell i només queden termes completament contrets.

on p és el nombre de camps d'interacció (o, equivalentment, el nombre de partícules que interactuen) i n és l'ordre de desenvolupament (o el nombre de vèrtexs d'interacció). Per exemple, si

Això és anàleg al teorema d'Isserlis corresponent en estadística per als moments d'una distribució gaussiana.

Cal tenir en compte que aquesta discussió es fa en termes de la definició habitual d'ordenació normal, que és adequada per als valors esperats de buit (VEV) dels camps. (El teorema de Wick proporciona una manera d'expressar els VEV de n camps en termes de VEV de dos camps.See for example also: Mrinal Dasgupta: An introduction to Quantum Field Theory , Lectures presented at the RAL School for High Energy Physics, Somerville College, Oxford, September 2008, section 5.1 Wick's Theorem (downloaded 3 December 2012)) Hi ha altres definicions possibles d'ordenació normal, i el teorema de Wick és vàlid independentment. Tanmateix, el teorema de Wick només simplifica els càlculs si la definició d'ordenació normal utilitzada es canvia per coincidir amb el tipus de valor esperat desitjat. És a dir, sempre volem que el valor esperat del producte ordenat normal sigui zero. Per exemple, en la teoria del camp tèrmic, un tipus diferent de valor esperat, una traça tèrmica sobre la matriu de densitat, requereix una definició diferent d' ordenació normal.

Referències

Categoria:Mecànica quàntica