En teoria de la probabilitat i estadística, els cumulants d'una distribució de probabilitat són un conjunt de quantitats que proporcionen una alternativa als moments de la distribució. Dues distribucions de probabilitat amb moments idèntics també tindran cumulants idèntics, i viceversa.
El primer cumulant és la mitjana, el segon cumulant és la variància i el tercer cumulant és el mateix que el tercer moment central. Però els cumulants de quart ordre i d'ordre superior no són iguals als moments centrals. En alguns casos, els tractaments teòrics dels problemes en termes de cumulants són més senzills que els que utilitzen moments. En particular, quan dues o més variables aleatòries són estadísticament independents, el cumulant d'ordre de la seva suma és igual a la suma dels seus cumulants d'ordre . A més, els cumulants de tercer ordre i d'ordre superior d'una distribució normal són zero, i és l'única distribució amb aquesta propietat.
De la mateixa manera que per als moments, on els moments conjunts s'utilitzen per a col·leccions de variables aleatòries, és possible definir cumulants conjunts.
Definició Els cumulants d'una variable aleatòria es defineixen mitjançant la funció generadora de cumulants (CGF) , que és una funció generadora que és el logaritme natural de la funció generadora de moments: Els cumulants s'obtenen d'una expansió en sèrie de potències de la funció generadora de cumulants:
Aquesta expansió és una sèrie de Maclaurin, de manera que el cumulant -èsim es pot obtenir diferenciant l'expansió anterior vegades i avaluant el resultat a zero:Weisstein, Eric W. "Cumulant". From MathWorld – A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Cumulant.html
Si la funció generadora de moments no existeix, els cumulants es poden definir en termes de la relació entre els cumulants i els moments que es discutirà més endavant.
Definició alternativa de la funció generadora de cumulants Alguns escriptorsKendall, M. G., Stuart, A. (1969) The Advanced Theory of Statistics, Volume 1 (3rd Edition). Griffin, London. (Section 3.12)Lukacs, E. (1970) Characteristic Functions (2nd Edition). Griffin, London. (Page 27) prefereixen definir la funció generadora de cumulants com el logaritme natural de la funció característica, que de vegades també s'anomena segona funció característica,Aapo Hyvarinen, Juha Karhunen, and Erkki Oja (2001) Independent Component Analysis, John Wiley & Sons. (Section 2.7.2) segona característica, Lukacs, E. (1970) Characteristic Functions (2nd Edition). Griffin, London. (Section 2.4) o exponent característic, Un avantatge de —en cert sentit, la funció avaluada per a arguments purament imaginaris— és que està ben definida per a tots els valors reals de fins i tot quan no està ben definida per a tots els valors reals de , com pot passar quan hi ha "massa" probabilitat que tingui una magnitud gran. Tot i que la funció estarà ben definida, imitarà pel que fa a la longitud de la seva sèrie de Maclaurin, que pot no estendre's més enllà (o, rarament, fins i tot a) l'ordre lineal en l'argument , i en particular el nombre de cumulants que estan ben definits no canviarà. No obstant això, fins i tot quan no té una sèrie de Maclaurin llarga, es pot utilitzar directament per analitzar i, en particular, afegir variables aleatòries. Tant la distribució de Cauchy (també anomenada lorentziana) com, més generalment, les distribucions estables (relacionades amb la distribució de Lévy) són exemples de distribucions per a les quals les expansions en sèrie de potències de les funcions generadores només tenen un nombre finit de termes ben definits.
Algunes propietats bàsiques L'enèsim cumulant de (la distribució d') una variable aleatòria gaudeix de les següents propietats:
Si i és constant (és a dir, no aleatori) llavors és a dir, el cumulant és invariant a la traducció. (Si llavors tenim Si és constant (és a dir, no aleatori) llavors és a dir, el el cumulant és homogeni de grau . Si les variables aleatòries són independents, doncs És a dir, el cumulant és acumulatiu, d'aquí el nom.
La propietat acumulativa es desprèn ràpidament considerant la funció generadora del cumulant: de manera que cada cumulant d'una suma de variables aleatòries independents és la suma dels cumulants corresponents dels sumands. És a dir, quan els sumands són estadísticament independents, la mitjana de la suma és la suma de les mitjanes, la variància de la suma és la suma de les variàncies, el tercer cumulant (que resulta ser el tercer moment central) de la suma és la suma dels tercers cumulants, i així successivament per a cada ordre de cumulant.
Una distribució amb cumulants es pot aproximar mitjançant una sèrie d'Edgeworth.
Primers diversos cumulants com a funcions dels moments Tots els cumulants superiors són funcions polinòmiques dels moments centrals, amb coeficients enters, però només en els graus 2 i 3 els cumulants són realment moments centrals.
Sigui els cumulants, ser el mitjà, i seran els moments centrals. Aleshores:
(la mitjana). (la variància o segon moment central). . (Aquest és el primer cas en què els cumulants no són simplement moments o moments centrals. Els moments centrals de grau superior a 3 no tenen la propietat acumulativa.) .
Cumulants d'algunes distribucions de probabilitat discretes Les variables aleatòries constants X = μ. La funció generadora de cumulants és K(t) = μt. El primer cumulant és κ1 = K′(0) = μ i els altres cumulants són zero, κ2 = κ3 = κ4 = ⋅⋅⋅ = 0.
Les distribucions de Bernoulli (nombre d'èxits en una prova amb probabilitat p d'èxit). La funció generadora de cumulants és K(t) = log(1 − p + pet). Els primers cumulants són κ1 = K '(0) = p i κ2 = K′′(0) = p·(1 − p). Els cumulants satisfan una fórmula de recursió κ
Les distribucions geomètriques (nombre de fracassos abans d'un èxit amb probabilitat p d'èxit a cada prova). La funció generadora de cumulants és K(t) = log(p / (1 + (p − 1)et)). Els primers cumulants són κ1 = K′(0) = p−1 − 1, i κ2 = K′′(0) = κ1p−1. Substituint p = (μ + 1)−1 s'obté K(t) = −log(1 + μ(1−et)) i κ1 = μ.
Les distribucions de Poisson. La funció generadora de cumulants és K(t) = μ(et − 1). Tots els cumulants són iguals al paràmetre: κ1 = κ2 = κ3 =... = μ.
Les distribucions binomials (nombre d'èxits en n proves independents amb probabilitat p d'èxit a cada prova). El cas especial n = 1 és una distribució de Bernoulli. Cada cumulant és només n vegades el cumulant corresponent de la distribució de Bernoulli corresponent. La funció generadora de cumulants és K(t) = n log(1 − p + pet). Els primers cumulants són κ1 = K′(0) = np i κ2 = K′′(0) = κ1(1 − p). Substituint p = μ·n−1 s'obté K '(t) = ((μ−1 − n−1)·e−t + n−1)−1 i κ1 = μ. El cas límit n → +∞ és una distribució de Poisson.
Les distribucions binomials negatives (nombre de fracassos abans de r èxits amb probabilitat p d'èxit a cada intent). El cas especial r = 1 és una distribució geomètrica. Cada cumulant és just r vegades el cumulant corresponent de la distribució geomètrica corresponent. La derivada de la funció generadora de cumulants és K′(t) = r·((1 − p)−1·e−t−1)−1. Els primers cumulants són κ1 = K′(0) = r·(p−1−1), i κ2 = K′′(0) = κ1·p−1. Si substituïm p = (μ·r−1+1)−1, obtenim K′(t) = ((μ−1 + r−1)e−t − r−1)−1 i κ1 = μ. La comparació d'aquestes fórmules amb les de les distribucions binomials explica el nom de «distribució binomial negativa». El cas límit r → +∞ és una distribució de Poisson.
Introducció de la relació entre la variància i la mitjana Les distribucions de probabilitat anteriors obtenen una fórmula unificada per a la derivada de la funció generadora del cumulant:
La segona derivada és confirmant que el primer cumulant és i el segon cumulant és .
Les variables aleatòries constants tenen .
Les distribucions binomials tenen de manera que .
Les distribucions binomials negatives tenen de manera que .
Observeu l'analogia amb la classificació de les seccions còniques per excentricitat : cercles , el·lipses , paràboles , hipèrboles .
Cumulants d'algunes distribucions de probabilitat contínues Per a la distribució normal amb valor esperat i variància la funció generadora de cumulants és . Les derivades primera i segona de la funció generadora de cumulants són i . Els cumulants són i El cas especial és una variable aleatòria constant . Els cumulants de la distribució uniforme en l'interval són , i per , on el nombre de Bernoulli n-èsim Els cumulants de la distribució exponencial amb paràmetre de taxa són
Algunes propietats de la funció generadora de cumulants La funció generadora de cumulants , si existeix, és infinitament diferenciable i convexa, i passa per l'origen. La seva primera derivada oscil·la monòtonament en l'interval obert des de l'ínfim fins al suprem del suport de la distribució de probabilitat, i la seva segona derivada és estrictament positiva a tot arreu on està definida, excepte per a la distribució degenerada d'una massa puntual. La funció generadora de cumulants existeix si i només si les cues de la distribució es majoritzen mitjançant una decadència exponencial, és a dir, (vegeu la notació Big O).
on és la funció de distribució acumulativa. La funció generadora del cumulant tindrà asímptota vertical (s) al suprem negatiu d'aquest , si existeix aquest suprem, i al suprem d'aquest , si existeix aquest suprem; en cas contrari, es definirà per a tots els nombres reals.
Si el suport d'una variable aleatòria té límits superiors o inferiors finits, aleshores la seva funció generadora de cumulants , si existeix, s'acosta a l'asímptota (s) el pendent de la qual és igual al suprem o ínfim del suport, respectivament, situant-se per sobre d'aquestes dues línies a tot arreu. (Les integrals
donen les interseccions d'aquestes asímptotes, ja que )
Per a un desplaçament de la distribució per , Per a una massa puntual degenerada a , la funció generadora del cumulant és la línia recta , i més generalment, si i només si i són independents i les seves funcions generadores cumulants existeixen; (la subindependència i l'existència de segons moments són suficients per implicar independència.)
La família exponencial natural d'una distribució es pot realitzar desplaçant o translant i ajustant-la verticalment de manera que sempre passi per l'origen: si és la funció de debilitat amb funció generadora de cumulants i és la seva família exponencial natural, aleshores i
Si és finit per a un rang , aleshores si aleshores és analític i infinitament diferenciable per . A més, per a real i és estrictament convex, i és estrictament creixent.
Relació amb la física estadística En física estadística, moltes quantitats extensives, és a dir, quantitats que són proporcionals al volum o la mida d'un sistema determinat, estan relacionades amb cumulants de variables aleatòries. La connexió profunda és que en un sistema gran una quantitat extensiva com l'energia o el nombre de partícules es pot considerar com la suma de (per exemple) l'energia associada a un nombre de regions gairebé independents. El fet que els cumulants d'aquestes variables aleatòries gairebé independents se sumin (gairebé) fa que sigui raonable esperar que les quantitats extensives estiguin relacionades amb els cumulants.
Un sistema en equilibri amb un bany tèrmic a la temperatura té una energia interna fluctuant , que es pot considerar una variable aleatòria extreta d'una distribució La funció de partició del sistema és on = i és la constant de Boltzmann i la notació s'ha utilitzat en lloc de per al valor esperat per evitar confusions amb l'energia, Per tant, el primer i el segon cumulant de l'energia donen l'energia i la capacitat calorífica mitjanes.
L'energia lliure de Helmholtz expressada en termes de