En la teoria quàntica de camps, l'expansió del producte d'operadors (OPE) s'utilitza com a axioma per definir el producte de camps com una suma sobre els mateixos camps. Com a axioma, ofereix un enfocament no pertorbatiu a la teoria quàntica de camps. Un exemple és l'àlgebra d'operadors de vèrtexs, que s'ha utilitzat per construir teories de camps conformes bidimensionals. Si aquest resultat es pot estendre a la QFT en general, resolent així moltes de les dificultats d'un enfocament pertorbatiu, continua sent una pregunta de recerca oberta.
En càlculs pràctics, com ara els necessaris per a les amplituds de dispersió en diversos experiments de col·lisionadors, l'expansió del producte de l'operador s'utilitza en les regles de suma QCD per combinar els resultats de càlculs pertorbatius i no pertorbatius (condensat).
Teoria quàntica de camps euclidians 2D En la teoria de camps euclidiana 2D, l'expansió del producte d'operadors és una expansió en sèrie de Laurent associada a dos operadors. En aquesta expansió, hi ha un nombre finit de potències negatives de la variable, a més de potencialment infinites potències positives de la variable.
Aquesta expansió és una suma localment convergent. Més precisament, si és un punt, i i són camps amb valor d'operador, aleshores hi ha un veïnat obert de de manera que per a tots
Heurísticament, en la teoria quàntica de camps l'interès rau en els observables físics representats pels operadors. Conèixer el resultat de fer dues observacions físiques en dos punts i , els seus operadors es poden ordenar en un temps creixent.
En les aplicacions de coordenades conformes, l'ordenació radial és, en canvi, més rellevant. Això és l'anàleg de l'ordenació temporal, on el temps creixent s'ha assignat a un radi creixent en el pla complex. L'ordenació normal dels operadors de creació és útil quan es treballa en el segon formalisme de quantificació.
Una OPE d'ordenació radial es pot escriure com una OPE d'ordenació normal menys els termes no d'ordenació normal. Els termes no d'ordenació normal sovint es poden escriure com un commutador, i aquests tenen identitats simplificadores útils. L'ordenació radial proporciona la convergència de l'expansió.
El resultat és una expansió convergent del producte de dos operadors en termes d'alguns termes que tenen pols en el pla complex (els termes de Laurent) i termes que són finits. Aquest resultat representa l'expansió de dos operadors en dos punts diferents del sistema de coordenades original com una expansió al voltant d'un sol punt a l'espai de desplaçaments entre punts, amb termes de la forma:
.
Relacionat amb això, un operador en el pla complex s'escriu en general com a funció de i . Aquestes es coneixen com a parts holomorfes i antiholomorfes respectivament, ja que són funcions contínues i diferenciables amb un nombre finit de singularitats. En general, l'expansió del producte de l'operador pot no separar-se en parts holomorfes i antiholomorfes, especialment si hi ha termes de l'expansió. Tanmateix, les derivades de l'OPE sovint poden separar l'expansió en expansions holomorfes i antiholomorfes. L'expressió resultant també és una OPE i, en general, és més útil.
Àlgebra del producte d'operadors En el cas genèric, es proporciona un conjunt de camps (o operadors) que se suposa que tenen un valor superior a alguna àlgebra. Per exemple, fixant x, el es pot prendre per abastar alguna àlgebra de Lie. Si alliberem x per viure en una varietat, el producte d'operadors és simplement algun element de l'anell de funcions. En general, aquests anells no posseeixen prou estructura per fer afirmacions significatives; per tant, es consideren axiomes addicionals per enfortir el sistema.
L'àlgebra del producte d'operadors és una àlgebra associativa de la forma
Les constants d'estructura han de ser funcions d'un sol valor, en lloc de seccions d'algun fibrat vectorial. A més, els camps han d'abastar l'anell de funcions. En càlculs pràctics, normalment es requereix que les sumes siguin analítiques dins d'un radi de convergència; normalment amb un radi de convergència de Així, l'anell de funcions es pot considerar com l'anell de funcions polinòmiques.
L'anterior es pot veure com un requisit que s'imposa a un anell de funcions; imposar aquest requisit als camps d'una teoria de camps conforme es coneix com a bootstrap conformal.
Un exemple d'àlgebra de producte d'operadors és l'àlgebra d'operadors de vèrtexs. Actualment s'espera que les àlgebres de producte d'operadors es puguin utilitzar per axiomatitzar tota la teoria quàntica de camps; ho han fet amb èxit per a les teories de camps conformes, i si es poden utilitzar com a base per a la QFT no pertorbativa és una àrea de recerca oberta.
Referències
Categoria:Mecànica quàntica