L'elasticitat lineal és un model matemàtic de com els objectes sòlids es deformen i pateixen tensions internes per condicions de càrrega prescrites. És una simplificació de la teoria no lineal més general de l'elasticitat i una branca de la mecànica del continu.

Els supòsits fonamentals de l'elasticitat lineal són les deformacions infinitesimals — és a dir, deformacions "petites" — i les relacions lineals entre els components de la tensió i la deformació — d'aquí el nom "lineal". L'elasticitat lineal només és vàlida per a estats de tensió que no produeixen cediment. Les seves suposicions són raonables per a molts materials d'enginyeria i escenaris de disseny d'enginyeria. Per tant, l'elasticitat lineal s'utilitza àmpliament en l'anàlisi estructural i el disseny d'enginyeria, sovint amb l'ajuda de l'anàlisi d'elements finits.

Formulació matemàtica Les equacions que governen un problema de valor límit elàstic lineal es basen en tres equacions diferencials parcials tensorials per al balanç del moment lineal i sis relacions infinitesimals de deformació - desplaçament. El sistema d'equacions diferencials es completa amb un conjunt de relacions constitutives algebraiques lineals.

Forma tensorial directa En forma tensorial directa, independent de l'elecció del sistema de coordenades, aquestes equacions governants són:

L'equació del moment de Cauchy, que és una expressió de la segona llei de Newton. En forma convectiva s'escriu com: Equacions de deformació-desplaçament : Equacions constitutives. Per a materials elàstics, la llei de Hooke representa el comportament del material i relaciona les tensions i deformacions desconegudes. L'equació general de la llei de Hooke és

on és el tensor de tensió de Cauchy, és el tensor de deformació infinitesimal, és el vector de desplaçament, és el tensor de rigidesa de quart ordre, és la força corporal per unitat de volum, és la densitat de massa, representa l'operador nabla, representa una transposició, representa la segona derivada material respecte al temps, i és el producte intern de dos tensors de segon ordre (la suma sobre índexs repetits està implícita).

Forma de coordenades cartesianes Expressades en termes de components respecte a un sistema de coordenades cartesianes rectangulars, les equacions que regeixen l'elasticitat lineal són:

Equació del moviment: on: Equacions deformació-desplaçament:on: Equacions constitutives. L'equació de la llei de Hooke és: on és el tensor de rigidesa. Es tracta de 6 equacions independents que relacionen les tensions i les deformacions. El requisit de simetria dels tensors de tensió i deformació comporta la igualtat de moltes de les constants elàstiques, la qual cosa redueix a 21 el nombre d'elements diferents .

Un problema de valors límit elastostàtic per a un medi isotròpic-homogeni és un sistema de 15 equacions independents i el mateix nombre d'incògnites (3 equacions d'equilibri, 6 equacions de deformació-desplaçament i 6 equacions constitutives). En especificar les condicions de contorn, el problema de valor de contorn queda completament definit. Per resoldre el sistema es poden adoptar dos enfocaments segons les condicions de contorn del problema de valor de contorn: una formulació de desplaçament i una formulació de tensió.

Forma de coordenades cilíndriques En coordenades cilíndriques ( ) les equacions del moviment són Les relacions deformació-desplaçament són i les relacions constitutives són les mateixes que en les coordenades cartesianes, excepte que els índexs 1, 2, 3 ara representen , , , respectivament.

Forma de coordenades esfèriques En coordenades esfèriques ( ) les equacions del moviment són

miniatura|240x240px|Coordenades esfèriques ( r, θ, φ ) tal com s'utilitzen habitualment en física : distància radial r, angle polar θ (theta) i angle azimutal φ (phi). El símbol ρ (rho) s'utilitza sovint en lloc de r. El tensor de deformació en coordenades esfèriques és

Medis (an)isòtrops (in)homogenis En medis isotròpics, el tensor de rigidesa dóna la relació entre les tensions (tensions internes resultants) i les deformacions (deformacions resultants). Per a un medi isotròpic, el tensor de rigidesa no té una direcció preferent: una força aplicada donarà els mateixos desplaçaments (relatius a la direcció de la força) independentment de la direcció en què s'apliqui la força. En el cas isotròpic, el tensor de rigidesa es pot escriure: on és el delta de Kronecker, K és el mòdul de compressió (o incompressibilitat), i és el mòdul de cisallament (o rigidesa), dos mòduls elàstics. Si el medi és heterogeni, el model isotròpic té sentit si el medi és constant a trossos o feblement heterogeni; en el model llis fortament heterogeni, cal tenir en compte l'anisotropia. Si el medi és homogeni, els mòduls elàstics seran independents de la posició en el medi. L'equació constitutiva ara es pot escriure com:

Aquesta expressió separa la tensió en una part escalar a l'esquerra que pot estar associada amb una pressió escalar, i una part sense traça a la dreta que pot estar associada amb forces de cisallament. Una expressió més senzilla és:Continuum Mechanics for Engineers 2001 Mase, Eq. 5.12-2 on λ és el primer paràmetre de Lamé. Com que l'equació constitutiva és simplement un conjunt d'equacions lineals, la deformació es pot expressar com a funció de les tensions com: que és, de nou, una part escalar a l'esquerra i una part de cisallament sense traça a la dreta. Més simplement: on és el coeficient de Poisson i és el mòdul de Young.

Elastostàtics L'elastostàtica és l'estudi de l'elasticitat lineal en condicions d'equilibri, en què totes les forces sobre el cos elàstic sumen zero i els desplaçaments no són funció del temps. Les equacions d'equilibri són llavors En notació d'enginyeria (amb tau com a tensió de cisallament),

En aquesta secció només es tractarà el cas isotròpic homogeni.

Formulació de desplaçament En aquest cas, els desplaçaments es prescriuen a tot arreu del límit. En aquest plantejament, les deformacions i les tensions s'eliminen de la formulació, deixant els desplaçaments com a incògnites que s'han de resoldre en les equacions governants. Primer, les equacions de deformació-desplaçament se substitueixen a les equacions constitutives (llei de Hooke), eliminant les deformacions com a incògnites: Diferenciant (suposant i són espacialment uniformes) donen: Substituint a l'equació d'equilibri s'obté: o (substituint els índexs dobles (ficticis) (=suma) k,k per j,j i intercanviant índexs, ij a, ji després del, en virtut del teorema de Schwarz) on i són paràmetres de Lamé. D'aquesta manera, les úniques incògnites que queden són els desplaçaments, d'aquí el nom d'aquesta formulació. Les equacions governants obtingudes d'aquesta manera s'anomenen equacions elastostàtiques, el cas especial de les equacions estacionàries de Navier-Cauchy que es donen a continuació.

Formulació de l'estrès En aquest cas, les traccions superficials es prescriuen a tot arreu del límit superficial. En aquest mètode, les deformacions i els desplaçaments s'eliminen, deixant les tensions com a incògnites que s'han de resoldre en les equacions governants. Un cop trobat el camp de tensions, les deformacions es troben mitjançant les equacions constitutives.

Hi ha sis components independents del tensor de tensió que cal determinar, però en la formulació del desplaçament només hi ha tres components del vector de desplaçament que cal determinar. Això significa que hi ha algunes restriccions que s'han d'imposar al tensor de tensió per reduir el nombre de graus de llibertat a tres. Utilitzant les equacions constitutives, aquestes restriccions es deriven directament de les restriccions corresponents que s'han de complir per al tensor de deformació, que també té sis components independents. Les restriccions sobre el tensor de deformació es poden derivar directament de la definició del tensor de deformació com a funció del camp vectorial de desplaçament, la qual cosa significa que aquestes restriccions no introdueixen conceptes ni informació nous. Són les restriccions sobre el tensor de deformació les que s'entenen més fàcilment. Si el medi elàstic es visualitza com un conjunt de cubs infinitesimals en estat no deformat, després que el medi sigui deformat, un tensor de deformació arbitrari ha de donar una situació en què els cubs distorsionats encara encaixen sense superposar-se. En altres paraules, per a una deformació determinada, ha d'existir un camp vectorial continu (el desplaçament) del qual es pot derivar aquest tensor de deformació. Les restriccions sobre el tensor de deformació que es requereixen per assegurar que aquest sigui el cas van ser descobertes per Saint-Venant i s'anomenen " equacions de compatibilitat de Saint-Venant". Es tracta de 81 equacions, 6 de les quals són equacions independents no trivials, que relacionen els diferents components de deformació. Aquests s'expressen en notació d'índex com: En notació d'enginyeria, són:

Les deformacions d'aquesta equació s'expressen en termes de les tensions utilitzant les equacions constitutives, que donen les restriccions corresponents al tensor de tensions. Aquestes restriccions sobre el tensor d'esforços es coneixen com les equacions de compatibilitat de Beltrami-Michell : En la situació especial on la força corporal és homogènia, les equacions anteriors es redueixen a Una condició necessària, però insuficient, per a la compatibilitat en aquesta situació és o

Aquestes restriccions, juntament amb l'equació d'equilibri (o equació de moviment per a l'elastodinàmica), permeten el càlcul del camp tensorial d'esforços. Un cop calculat el camp de tensions a partir d'aquestes equacions, les deformacions es poden obtenir a partir de les equacions constitutives, i el camp de desplaçament a partir de les equacions de deformació-desplaçament.

Una tècnica de solució alternativa és expressar el tensor de tensió en termes de funcions de tensió que automàticament donen una solució a l'equació d'equilibri. Les funcions de tensió obeeixen aleshores una única equació diferencial que correspon a les equacions de compatibilitat.

Medis homogenis anisotròpics Per a medis anisotròpics, el tensor de rigidesa és més complicat. La simetria del tensor de tensions significa que hi ha com a màxim 6 elements d'estrès diferents. De la mateixa manera, hi ha com a màxim 6 elements diferents del tensor de deformació . Per tant, el tensor de rigidesa de quart ordre es pot escriure com una matriu (un tensor de segon ordre). La notació de Voigt és l'aplicació estàndard per als índexs tensorials,

Amb aquesta notació, es pot escriure la matriu d'elasticitat per a qualsevol medi linealment elàstic com:

Com es mostra, la matriu és simètric, això és el resultat de l'existència d'una funció de densitat d'energia de deformació que satisfà . Per tant, hi ha com a màxim 21 elements diferents de .

El cas especial isotròpic té 2 elements independents:

El cas anisotròpic més simple, el de simetria cúbica, té 3 elements independents:

El cas de la isotropia transversal, també anomenada anisotropia polar (amb un sol eix de simetria, l'eix 3) té 5 elements independents:

Quan la isotropia transversal és feble (és a dir, propera a la isotropia), una parametrització alternativa que utilitzi paràmetres de Thomsen és convenient per a les fórmules de velocitats d'ona.

El cas de l'ortotropia (la simetria d'un maó) té 9 elements independents:

Algunes solucions clàssiques d'elasticitat lineal bidimensional En el següent

Aquí, és el mòdul de Young i és el coeficient de Poisson.

Placa infinita bidimensional amb un forat sense tracció de radi sotmès a un camp d'estrès remot Els camps de tensió i desplaçament vénen donats per (l'orientació , és al llarg de la -eix)

Al límit del forat:

La tensió circular màxima es produeix a ;

Per tant, el factor de concentració d'estrès (SCF) és 3.

Referències

Categoria:Física Categoria:Mecànica dels medis continus