Una cadena d'espíns és un tipus de model en física estadística. Les cadenes d'espín es van formular originalment per modelar sistemes magnètics, que normalment consisteixen en partícules amb espín magnètic situades en llocs fixos d'una xarxa. Un exemple prototípic és el model quàntic de Heisenberg. Les interaccions entre els llocs estan modelades per operadors que actuen en dos llocs diferents, sovint veïns.
Es poden considerar una versió quàntica dels models estadístics de xarxa, com ara el model d'Ising, en el sentit que el paràmetre que descriu l'espín a cada lloc passa de ser una variable que pren valors en un conjunt discret (típicament {+1, −1}, que representen «espín amunt» i «espín avall») a ser una variable que pren valors en un espai vectorial (típicament la representació d'espín 1/2 o bidimensional de su(2)).
Història L'exemple prototípic d'una cadena d'espíns és el model de Heisenberg, descrit per Werner Heisenberg el 1928. Això modela una xarxa unidimensional de partícules fixes amb espín 1/2. Hans Bethe va resoldre una versió simple (el model antiferromagnètic XXX), és a dir, va determinar l'espectre del hamiltonià del model de Heisenberg, utilitzant l'equació de Bethe. Ara, el terme equacions de Bethe s'utilitza generalment per referir-se a moltes equacions utilitzades per resoldre problemes exactament resolubles en la teoria de cadenes d'espíns, com ara les altres variacions del model de Heisenberg (XXZ, XYZ), i fins i tot en la teoria estadística de xarxes, com ara el model de sis vèrtexs.
Una altra cadena de spins amb aplicacions físiques és el model de Hubbard, introduït per John Hubbard el 1963. El 1968, Elliott Lieb i Fa-Yueh Wu van demostrar que aquest model era exactament resoluble
Un altre exemple de (una classe de) cadenes d'espíns és el model de Gaudin, descrit i resolt per Michel Gaudin el 1976.
Descripció matemàtica La xarxa es descriu mitjançant un gràfic amb conjunt de vèrtexs i conjunt de vores .
The model has an associated algebra de Lie . More generally, this Lie algebra can be taken to be any complex, finite-dimensional algebra de Lie semi-simple . More generally still it can be taken to be an arbitrary Lie algebra.
Cada vèrtex té una representació associada de l'àlgebra de Lie , etiquetat . Aquesta és una generalització quàntica dels models de xarxa estadística, on cada vèrtex té una "variable d'espín" associada.
L'espai de Hilbert per a tot el sistema, que es podria anomenar espai d'estats, és el producte tensorial dels espais de representació a cada vèrtex: Un hamiltonià és, doncs, un operador a l'espai de Hilbert. En la teoria de cadenes d'espíns, possiblement hi ha molts hamiltonians que commuten mútuament. Això permet que els operadors es diagonalitzin simultàniament.
Hi ha una noció de solubilitat exacta per a les cadenes d'espíns, sovint esmentada com a determinant de l'espectre del model. En termes precisos, això significa determinar els vectors propis simultanis de l'espai de Hilbert per als hamiltonians del sistema, així com els valors propis de cada vector propi respecte a cada hamiltonià.
Exemples Model Spin 1/2 XXX en detall L'exemple prototípic, i un exemple particular de la cadena d'espín de Heisenberg, es coneix com el model Heisenberg XXX d'espín 1/2.
El gràfic és la xarxa unidimensional periòdica amb -llocs. Explícitament, això ve donat per , i els elements de ésser amb identificat amb .
L'àlgebra de Lie associada és .
Al lloc hi ha un espai de Hilbert associat que és isomorfa a la representació bidimensional de (i per tant més isomòrfic a ). L'espai de Hilbert de les configuracions del sistema és , de dimensió
Donat un operador sobre la representació bidimensional de , denotat per l'operador en que actua com a en i com a identitat per l'altra amb . Explícitament, es pot escriure on l'1 denota identitat.
L'hamiltonià és essencialment, llevat d'una transformació afí, amb sumatori implícit sobre l'índex i , i on σi són les matrius de Pauli. L'hamiltonià presenta simetria sl2 sota l'acció dels tres operadors de spin total .
El problema central és, doncs, determinar l'espectre (valors propis i vectors propis en ) del Hamiltonià. Això es resol amb el mètode d'un ansatz algebraic de Bethe, descobert per Hans Bethe i explorat més a fons per Ludwig Faddeev.
Llista de cadenes de spin Model quàntic de Heisenberg Model d'Inozemtsev Model de Haldane-Shastry Model quàntic de Gaudin
Referències
Categoria:Mecànica quàntica