Vektorový prostor

class=skin-invert-image|200px|náhled|right|Součet vektorů a skalární násobek: vektor je sečten s vektorem (nahoře). Vektor je před sečtením s vynásoben skalárem 2 (dole).

Vektorový prostor (též lineární prostor) je v matematice a fyzice množina prvků nazývaných vektory, na níž jsou definovány dvě základní operace: sčítání vektorů a násobení skalárem. Skaláry jsou prvky určitého tělesa – nejčastěji reálná nebo komplexní čísla. Výsledkem těchto operací musí být opět vektor téhož prostoru a tyto operace musejí splňovat pravidla zvaná axiomy vektorového prostoru.

Pojem vektorového prostoru vznikl zobecněním vlastností vektorů v Euklidovském prostoru, tedy objektů, které mají velikost i směr. Toto zobecnění umožňuje aplikovat pojem vektoru i na abstraktnější objekty, jako jsou funkce, matice nebo polynomy.

Vektorové prostory jsou základním pojmem lineární algebry, která poskytuje prostředky pro výpočet a analýzu soustav lineárních rovnic pomocí matic.

Strukturální vlastnosti vektorového prostoru jsou jednoznačně určeny jeho dimenzí a tělesem, nad kterým je definován. Pokud je dimenze konečná, hovoří se o konečnědimenzionálním prostoru – tyto prostory se běžně vyskytují v geometrii a fyzice. Je-li dimenze nekonečná, jde o nekonečnědimenzionální prostor, který se objevuje například v matematické analýze. Typickými příklady jsou prostory polynomů nebo funkcí.

Některé vektorové prostory jsou obohaceny o další struktury, které umožňují jejich hlubší studium a využití. Patří sem například různé druhy algeber – například Lieovy algebry, okruhy polynomů nebo tělesová rozšíření. Zvláštní význam mají také topologické vektorové prostory, mezi které patří normované prostory, Hilbertovy prostory a Banachovy prostory.

Definice

V tomto článku jsou vektory zapisovány tučně,Ve fyzice je běžné označovat vektory šipkou nahoře: . Ve vyšší matematice je běžné nepoužívat žádné typografické metody k odlišení vektorů od jiných matematických objektů. aby se odlišily od skalárů.

Vektorový prostor nad tělesem je neprázdná množina spolu s binární operací a funkcí dvou proměnných, které splňují osm axiomatických podmínek uvedených níže. V tomto kontextu se prvky množiny nazývají vektory a prvky tělesa se nazývají skaláry.

Binární operace zvaná součtu vektorů přiřazuje každým dvěma vektorům a z třetí vektor z , obvykle zapisovaný jako , který se nazývá součet těchto dvou vektorů. Formálně jde o zobrazení .

Funkce dvou proměnných zvaná násobení skalárem (též skalární násobek) přiřazuje každému skaláru z a každému vektoru z další vektor z , který se značí . Formálně jde o zobrazení .

Aby struktura tvořila vektorový prostor, musí být splněno následujících osm axiomů pro všechna a :

Asociativita součtu: Komutativita součtu: Existence nulového vektoru: Existuje , tak že pro všechny Existence opačného vektoru: Pro každý existuje , takový že Distributivita skalárního násobku vůči součtu vektorů: Distributivita skalárního násobku vůči operacím součtu: Tento axiom není vlastnost distributivity dvou operaci, protože se vztahuje ke dvěma různým operacím součtu: vlevo jde o součet dvou skalárů, zatímco vpravo o součet dvou vektorů. Kompatibilita násobení skalárem: Tento axiom není vlastnost asociativity, protože se vztahuje ke dvěma různým operacím, skalárnímu násobku a součinu skalárů uvnitř tělesa. Je tedy nezávislý na asociativitě násobení v tělese. Existence jednotkového skaláru: , kde je multiplikativní identita v

Když je těleso skalárů reálná čísla , nazývá se vektorový prostor reálný vektorový prostor. Když je těleso skalárů komplexní čísla , nazývá se komplexní vektorový prostor. Tyto dva případy jsou nejběžnější, ale běžně se zvažují i vektorové prostory, jejichž skaláry patří do libovolného tělesa . Takový prostor se nazývá vektorový prostor nad tělesem .

Vektorový prostor lze ekvivalentně definovat i stručněji, ale za pomoci složitějších pojmů: První čtyři axiomy (týkající se sčítání vektorů) znamenají, že vektorový prostor tvoří abelovskou grupu vzhledem k operaci součtu. Zbylé čtyři axiomy (týkající se násobení skalárem) znamenají, že tato operace definuje okruhový homomorfismus z tělesa do okruhu endomorfismů této grupy. Konkrétně distributivita násobení skalárem vůči sčítání znamená, že násobení skalárem je endomorfismus skupiny. Zbylé tři axiomy zajišťují, že funkce, která mapuje skalár na násobení tímto skalárem, je okruhový homomorfismus z tělesa do kruhu endomorfismů grupy.

Ještě stručněji lze říci, že vektorový prostor je modulem nad tělesem.

Rozdíl dvou vektorů lze definovat jako: .

Vektorové operace s množinami

Kromě aritmetických operací definovaných nad jednotlivými vektory a prvky tělesa lze uvažovat také obdobné operace nad celými množinami vektorů. Zavedení těchto operací umožňuje kompaktnější zápis vztahů mezi množinami vektorů a zvýrazňuje jejich vzájemné souvislosti.

Nechť je vektorový prostor a jsou neprázdné podmnožiny. Jejich součet se definuje jako .

Součet dvou podmnožin vektorového prostoru se nazývá direktní součet, právě když lze každý vektor z množiny vyjádřit ve tvaru jednoznačně, kde a . Direktní součet množin a se značí a definuje se vztahem

Pokud jsou a vektorové podprostory prostoru , platí, že je direktním součtem (tj. ) právě tehdy, když jejich průnik obsahuje pouze nulový vektor:

Podrobný důkaz je uveden v oddílu Rovnosti a inkluze článku Vektorový podprostor.

Pokud jedna z podmnožin obsahuje jediný vektor , používá se zjednodušený zápis .

Je-li neprázdná podmnožina tělesa , definuje se násobek množin a jako

Obsahuje-li množina jediný skalár , zapisuje se . Analogicky se definuje záporný násobek množiny , což umožňuje definovat rozdíl dvou množin vztahem .

Základní pojmy Základní pojmy umožňují lépe pochopit strukturu vektorového prostoru nad číselným tělesem .

Lineární kombinace

Vektor je lineární kombinací vektorů , pokud platí: , kde .

Lineární nezávislost

Vektory jsou lineárně nezávislé, pokud jejich libovolná netriviální lineární kombinace je nenulový vektor: , přičemž alespoň jeden skalár je nenulový.

Generátory Vektory generují vektorový prostor, pokud každý vektor lze vyjádřit jako jejich lineární kombinaci: , kde .

Báze

Lineárně nezávislá množina vektorů, která generuje celý prostor, se nazývá báze vektorového prostoru. Pokud je vektorový prostor tvořen -složkovými vektory a báze obsahuje vektorů, platí .

Dimenze

Všechny báze vektorového prostoru mají stejnou mohutnost, která se nazývá dimenze prostoru.

Souřadnice Pro vektor z vektorového prostoru dimenze generovaného bází platí, že existují jednoznačně dané koeficienty takové, že: , koeficienty se nazývají souřadnice vektoru vzhledem k bázi .

Skalární součin a norma

Skalární součin dvou vektorů je symetrická pozitivně definitní bilineární forma . V aritmetickém n-rozměrném prostoru nad tělesem reálných čísel je definován jako

a nad tělesem komplexních čísel je definován jako , tj. jako součet součinů odpovídajících složek obou vektorů. Složky vektoru jsou obecně odlišné od souřadnic, kromě kanonické báze aritmetického vektorového prostoru.

Norma odvozená ze skalárního součinu je dána předpisem a je vždy nezáporná.

Z Cauchyho–Schwarzovy a trojúhelníkové nerovnosti plyne: , kde je úhel mezi vektory.

Vektorový součin

Ve třídimenzionálním prostoru je definován vektorový součin jako , kde je jednotkový vektor kolmý na vektory a a je úhel mezi nimi. Velikost vektorového součinu odpovídá ploše rovnoběžníku vektory sevřeného.

Podprostor

Podmnožina je podprostor, pokud součet libovolných vektorů z a násobek libovolného vektoru z skalárem z patří do . Podprostor je sám o sobě vektorovým prostorem.

Lineární obal

Lineární obal množiny vektorů z prostoru je množina všech jejich lineárních kombinací. Tento obal tvoří podprostor prostoru a má dimenzi nejvýše , kde značí dimenzi nadřazeného prostoru .

Direktní součet Podprostory a tvoří direktní součet , pokud lineární obal jejich sjednocení je a jejich průnik obsahuje pouze nulový vektor. Pak každý lze jednoznačně vyjádřit jako , kde a .

Ortogonální projekce

Nechť je podprostor a množina všech vektorů kolmých na všechny vektory . Množina tvoří podprostor a . Každý vektor lze jednoznačně rozložit na , kde je ortogonální projekce do a je kolmice spuštěná z na .

Vlastnosti

Z axiomů vektorového prostoru vyplývají následující základní vlastnosti pro každý vektorový prostor nad tělesem .

Jednoznačnost

Jednoznačnost nulového vektoru: V každém vektorovém prostoru existuje právě jeden nulový vektor , pro který platí

Důkaz: Existence alespoň jednoho nulového vektoru je zajištěna axiomem vektorového prostoru. Pokud by existovaly dva různé nulové vektory a , tedy pak by platilocož vede ke sporu. Nulový vektor je proto jednoznačně určen.

Jednoznačnost opačného vektoru: Ke každému vektoru existuje právě jeden opačný vektor , pro který platí

Důkaz: Existence vyplývá z axiomů. Pokud by k vektoru existovaly dva různé opačné vektory a , pak by platilo což je spor. Opačný vektor je proto jednoznačně určen.

Jednoznačnost řešení lineární rovnice: Pro libovolné vektory má rovnice právě jedno řešení , tedy

Důkaz: Výraz splňuje danou rovnici. Pokud by existovala dvě různá řešení a taková, že , pak by přičtení zleva vedlo na , což je ekvivalentní vztahu . Řešení je proto jednoznačné.

Nulový a opačný vektor

Libovolný násobek nulového vektoru je nulový vektor a nulový násobek libovolného vektoru je nulový vektor:

Důkaz: Přímou aplikací axiomů s využitím opačných prvků k vektorům v prvím a ve druhém případě:

Nulový součin skaláru a vektoru:

Důkaz: Implikace zprava doleva vyplývá z předchozí vlastnosti. Pro implikaci zleva doprava předpokládáme s a . Násobením plyne , což je spor.

Součin opačných prvků:

Důkaz: Rovnice má řešení . Současně platí a . Z jednoznačnosti řešení plyne .

Opačný vektor k danému vektoru lze získat vynásobením jednotkového prvku jeho opačným prvkem:

Důkaz: Plyne z předchozí vlastnosti při .

Množinové operace

Operace sčítání a násobení nad podmnožinami vektorového prostoru a tělesa splňují následující vlastnosti (pro ):

Součet množin je komutativní a asociativní.

, ale obecně nemusí obsahovat pouze nulový vektor. Vztah platí, pokud je podprostor. Pro množiny splňující , a platí:

Příklady vektorových prostorů

V následujícím textu jsou uvedeny příklady nejčastěji používaných vektorových prostorů. V numerické matematice se nejčastěji uplatňují konečnědimenzionální vektorové prostory, které jsou definovány nad číselnými tělesy. Výhodou těchto prostorů je možnost snadno zavést bázi, díky níž lze každý vektor popsat pomocí jeho souřadnic. Tyto souřadnice tvoří -tici čísel.

Při studiu libovolného konečněrozměrného prostoru je možné omezit se na studium prostoru n-tic čísel, jehož vlastnosti jsou přiblíženy v následujícím oddíle. Naopak prostory s nekonečnou dimenzí, například prostor spojitých funkcí nebo prostor posloupností, mají složitější strukturu, přičemž jejich příklady jsou rovněž uvedeny níže.

Další příklady vektorových prostorů jsou k dispozici v oddíle Vektorové prostory s dodatečnou strukturou.

Aritmetické vektory

Pro těleso a přirozené číslo lze vzít za množinu vektorů kartézský součin , čili množinu uspořádaných n-tic prvků z tělesa . Na této množině jsou definovány operace sčítání a násobení skalárem po složkách. Formálně, pro dvě uspořádané -tice a se jejich součet definuje jako

a skalární násobek vektoru skalárem je definován předpisem: