Kruhová inverze je (též inverze vzhledem ke kružnici) je typ geometrického zobrazení v rovině, které každému bodu (s výjimkou středu inverze) přiřazuje právě jeden bod podle daných pravidel. Je to geometrické zobrazení roviny relativně ke zvolené kružnici, při kterém se každý bod (vzor) zobrazí na bod (obraz) stejné polopřímky s počátkem ve středu inverze tak, že součin jejich vzdáleností od středu zvolené (řídící) kružnice je konstantní. Kruhovou inverzi lze chápat jako proces „převrácení“ vnitřku kružnice navenek a naopak.

Tato transformace nepatří mezi shodná ani podobná zobrazení. Nejedná se ani o afinní zobrazení. Přímky se až na výjimečné případy nezobrazují na přímky, ale zobrazují se na kružnice. Úhly křivek se zachovávají. Jedná se tedy o nelineární konformní geometrické zobrazení. Zobrazení má významné uplatnění v elementární i pokročilé geometrii, zejména při řešení složitých geometrických úloh a např. při řešení Apolloniových úloh.

Definice Nechť je dána kružnice se středem a poloměrem . Tato kružnice se nazývá řídicí kružnice (nebo kružnice inverze) a bod je střed inverze. Pro každý bod existuje bod na stejné polopřímce tak, že platí:

Tento vztah definuje obraz bodu při kruhové inverzi vzhledem ke kružnici kromě středu kružnice. Střed inverze se při inverzi nezobrazuje na žádný bod v euklidovské rovině. Za jeho obraz lze považovat bod v nekonečnu, tzv. nevlastní bod. O tento jediný bod se rozšiřuje euklidovská rovina na tzv. Möbiovu rovinu.

Konstrukce obrazu bodu thumb|Konstrukce obrazu bodu v kruhové inverzi. Nalezení obrazu bodu v zobrazení kruhové inverze je následující postup:

Vzor bodu je ve vnější oblasti hledáme obraz - bod : spojíme střed inverze se vzorem bodem sestrojíme tečnu k řídicí kružnici z bodu (pomocí Thaletovy kružnice) bodem dotyku vedeme kolmici k přímce pata kolmice na přímce je obraz bodu tj. bod

Vzor bodu je ve vnitřní oblasti, hledáme obraz - bod : vytvoříme polopřímku k polopřímce vedeme kolmici průsečíky kolmice s řídicí kružnicí jsou body dotyku popř. v bodě narýsujeme tečnu ke řídící kružnici v průsečíku tečny a polopřímky je hledaný obraz-bod

Základní vlastnosti a zobrazení bodu, přímky a kružnice thumb|Zobrazení přímky neprocházející středem inverze v kruhové inverzi.p - původní přímkak - řídicí kružnice q - výsledek kruhové inverze thumb|Zobrazení přímky procházející středem inverze v kruhové inverzi. Vytvořeno pomocí GeoGebra.org Inverze je involucí: Pokud provedeme inverzi geometrického obrazce dvakrát, bude obrazem původní geometrický objekt. Bod se zobrazí na bod a naopak, zobrazení splývá se svým inverzním zobrazením. Konformita: Zachovává velikost úhlů mezi křivkami, ačkoli obecně mění orientaci. Přímka, která neprochází středem inverze, se zobrazí na kružnici procházející středem. Přímka procházející středem inverze se zobrazí sama na sebe, je samodružná. Bod nemá obraz definován. Kružnice, která prochází středem inverze, se zobrazí na přímku. Kružnice, která neprochází středem inverze se zobrazí jinou kružnici neprocházející středem inverze. Právě všechny body řídící kružnice jsou v kruhové inverzi samodružné (pevné). V inverzi se vnější oblast řídicí kružnice zobrazí na vnitřní a naopak. Kruhová křivka-kružnice nebo přímka-se zobrazí opět na kruhovou křivku.

Historie a použití Kruhová inverze se objevila v 19. století jako mocný nástroj pro řešení komplikovaných úloh v geometrii. V historických souvislostech byla užívána již v elektrodynamice a v moderní době se stala součástí teorie Möbiových transformací a inverzní geometrie. V pedagogickém prostředí se s ní setkáváme zejména v rámci deskriptivní nebo syntetické geometrie a při řešení úloh o kružnicích a jejich vzájemných dotecích.

Aplikace Kruhová inverze se používá například při řešení Apolloniových úloh – úloh, ve kterých je třeba najít kružnici dotýkající se tří zadaných křivek, často řešitelných pomocí inverze. Také k transformaci geometrických konfigurací tak, že složité tvary se změní na jednodušší, například přímky nebo kružnice procházející středem inverze. V komplexní analýze jako základní nástroj při studiu konformních transformací. Kruhová inverze umožňuje transformovat složitější útvary (oblouky kružnic) na jednodušší geometrické objekty (časti přímky) v euklidovském pohledu, a naopak, čímž se usnadňuje vizualizace a výpočty.

Zobecnění Skládáním kruhových inverzí s podobnostmi dostaneme obecnější tzv. kruhové transformace. Ty tvoří grupu a lze je chápat jako projektivní transformace komplexní projektivní přímky.

Odkazy Reference

Externí odkazy Kruhová inverze – bakalářská práce (Hana Fuchsová), Západočeská univerzita v Plzni Kruhová inverze – bakalářská práce (Adam Foltýn), Masarykova univerzita v Brně Kruhová inverze a její aplikace v geometrii – diplomová práce (Eva Lálová), Jihočeská univerzita Kuželosečky v kruhové inverzi – diplomová práce (Jan Kocourek), Západočeská univerzita v Plzni

Související články

Kategorie:Geometrie Kategorie:Deskriptivní geometrie