Eulerova rovnice hydrodynamiky popisuje tok dokonalé newtonovské tekutiny s nulovou viskozitou. Jedná se o zjednodušený speciální případ Navierovy–Stokesovy rovnice.
Pro nestlačitelnou ideální tekutinu se jedná o nelineární parciální diferenciální rovnici dvou neznámých, která musí být pro kompletní řešení doplněna o rovnici kontinuity. Pro úplné řešení případu pro stlačitelnou tekutinu přibývá další neznámá a tak je třeba systém doplnit nejen o rovnici kontinuity, ale i stavovou rovnici (například ideálního plynu).
Rovnice může být plně integrována pouze, pokud předpokládáme, že je tekutina barotropní. Pro barotropní tekutinu je hustota funkcí pouze tlaku nebo je konstantní. Případ pro konstantní hustotu vede pro nevířivý potenciálový tok na Bernoulliho rovnici. Potenciálovým se myslí takový, jehož rychlosti je možné zapsat pomocí gradientu nějaké funkce.
Znění Eulerova rovnice je vektorová rovnice, jejíž předpis je . Zde je vektor rychlosti, je hustota, je tlak a je hustota objemové síly. Zároveň se předpokládá, že objemová síla je potenciální (že ji je možné zapsat pomocí gradientu nějakého potenciálu). V mnoha případech je hustota objemové síly rovna tíhovému zrychlení.
Gromekaův–Lambův tvar Eulerova rovnice se dá za použití vektorových identit přepsat do tvaru, ve kterém se do různých členů oddělí vířivé a potenciálové příspěvky k rychlosti.
Tento tvar se používá při odvození Bernoulliho rovnice.
Odvození Pro lineární (newtonovské) tekutiny platí konstituční vztah , který se pro nulovou viskozitu zjednoduší na izotropní tlak.
je delta funkcí a zastupuje zde souřadnice jednotkové matice. Pro objemový element tekutiny platí první věta impulsová, která říká, že časová změna hybnosti je rovna součtu působících sil. Působící síly na objemový element jsou dvou druhů: plošné (tlak) nebo objemové (gravitace). Plošné síly se dají zapsat pomocí Cauchyho tenzoru napětí .
Změna hybnosti v čase je totální derivací rychlosti v čase krát hustota objemového elementu. Totální derivaci lze pomocí řetězového pravidla přepsat na parciální derivace.
Změna hybnosti ve směru souřadnice je rovna součtu: objemové síly a plošných sil, které působí na stěny objemového elementu ve směru . Plošné síly lze zapsat pomocí Cauchyho tenzoru jako změnu napětí ve směru (zde se sčítá přes index )
Stačí jen dosadit konstitutivní vztah pro ideální tekutinu a vydělit obě strany hustotou.
Stačí přejít k vektorovému značení ( se nahradí za , souřadnicové derivace se nahradí za gradienty a sčítání přes index se přeznačí na skalární součin) a odvození je kompletní.
Odkazy Reference
Literatura
Související články Navierovy–Stokesovy rovnice Bernoulliho rovnice
Externí odkazy
Kategorie:Mechanika tekutin Kategorie:Leonhard Euler