Kapkový model jádra je zjednodušený fyzikální model snažící se popsat jisté vlastnosti atomových jader využívající jistých analogií s kapkou kapaliny. V tomto modelu je jádro atomu zjednodušeno na sférickou kapku nestlačitelné kapaliny o velice vysoké hustotě, kterou drží při sobě jaderné síly. Pomocí modelu lze sestrojit poloempirickou Weizsäckerovu formuli pro výpočet hmotnosti atomového jádra na základě znalosti počtu protonů a neutronů, což přímo vede k určení vazbové energie jádra.
Kapkový model jádra byl poprvé navržen Georgem Gamowem v roce 1929 a následně jej v roce 1935 použil C. F. von Weizsäcker pro stanovení vazbové energie jader a roku 1939 jej použili Niels Bohr, John Archibald Wheeler a Lise Meitner pro popis štěpení jader.
Analogie mezi kapkou kapaliny a její rozdíly Poloměr jádra je možné aproximativně vyjádřit jako , kde m z čehož plyne, že počet nukleonů v jádře je přímo úměrný jeho objemu. Z toho plyne, že hustota všech jader je totožná a stejně tomu tak je i pro koncentraci nukleonů všech jader (a tedy i střední vzdálenost mezi nukleony). Z toho lze usuzovat, že jádro se může chovat jako nestlačitelná kapalina. Dále platí, že vazbová energie jader je přibližně úměrná nukleonovému číslu , což je analogické pro kapku kapaliny, kde energie odpaření kapky je úměrné odpařené hmotnosti a tedy i počtu molekul kapaliny.
Nukleonová vazbová energie je dána jako a tedy jaderné síly se nasycují. Toto je opět analogické chemickým silám, které váží molekuly v kapalině. V kapkovém modelu tedy musí vznikat analogie povrchového napětí u kapalin, neboť nukleony na povrchu jsou přitahovány pouze jedním směrem a jsou tedy přitahovány slaběji.
Podstatným rozdílem mezi kapkou kapaliny a jádrem atomu je fakt, že působící síly v obou případech jsou zcela jiného charakteru. Dále je nukleonů v jádře mnohem méně (zhruba desítky nukleonů) než molekul v kapce (velice zhruba molekul).
Weizsäckerova poloempirická formule Hmotnost atomového jádra o protonech a neutronech je určena jako
,
kde a odpovídá hmotnosti protonu a neutronu v klidu a je vazbová energie jádra. Při použití skutečnosti, že , lze z Weizsäckerově poloempirické formule napsat vazbovou energii jádra jako
, náhled|257x257pixelů|Názorná ukázka toho, jak které členy vazebné energie souvisí se vzájemným ovlivňováním nukleonů mezi sebou. přičemž koeficienty , , , jsou kladné koeficienty v jednotkách energie a koeficient se liší v závislosti na protonovém a nukleonovém číslu a . Je-li Z a sudé (tzv. sudo-sudé jádro), pak je , je-li jádro licho-sudé nebo sudo-liché, je . Pokud je jádro licho-liché, je . V tomto tvaru vazbové energii jádra jsou hodnoty koeficientů přibližně , , , , .
Objemový člen Z představy jádra jako kapky z nestlačitelné kapaliny plyne, že vazbová energie je úměrná objemu kapky, neboli že je úměrná nukleonovému číslu (neboť a pro objem koule platí ). Každý nukleon v jádře je přitahován ostatními nukleony, a tedy jeden nukleon v jádře o nukleonů interaguje s dalšími nukleony, čili celkově je zde různých interakcí nukleon-nukleon, což by mělo vést ke skutečnosti, že první člen vazbové energie by měl být úměrný a nikoli . Povaha silné interakce je však taková, že i v rámci mezijaderných vzdáleností má velice omezený dosah, a proto lze uvažovat první člen úměrný pouze .
Povrchový člen Ne všechny nukleony si jsou v jádře rovny. Nukleony na okraji jádra jsou přitahovány pouze z vnitřní strany a jejich příspěvek k vazbové energii tedy bude menší, než od nukleonů uvnitř jádra. Tento jev je analogický k povrchovému napětí u kapky kapaliny, který je taktéž úměrný ploše kapky. Vazbová energie je tedy menší o veličinu úměrnou ploše, tj. úměrnou , což dává druhý člen úměrný .
Coulombovský člen V jádře se nachází protonů, které se coulombovskou silou navzájem odpuzují, a tedy snižují vazbovou energii jádra. Mechanismus této interakce na rozdíl od silné interakce má velice daleký dosah a nedochází zde k nasycení. Každý proton tedy interaguje s dalšími protony a míra této interakce tedy je . Coulombovská síla je však klesající se vzdáleností a výsledný člen je tedy úměrný . náhled|Schéma energetických stavů protonů (červeně) a neutronů (modře) v jádře atomu o pro případ, kdy je počet protonů a neutronů totožný a kdy je neutronů o čtyři více. Je zřejmé, že při asymetrickém rozdělení se neutrony nachází ve stavech s vyšší energií, kdežto protony se nachází ve zcela opačné situaci. Energeticky nejvýhodnější stav (nejvyšší vazbová energie) nastává při symetrickém rozdělení a vice versa pro asymetrické rozdělení.
Člen asymetrie Tento člen již nevychází z analogie kapky kapaliny, ale zohledňuje protony a neutrony v jádře jako fermiony, které podléhají Pauliho vylučovacímu principu. Experimentálně byla zjištěna jistá tendence k větším vazbových energiím jader, která mají přibližně stejný počet protonů a neutronů.
Protony a neutrony jsou rozdílné fermiony, čili Pauliho vylučovací princip platí pouze pro protony a nezávisle pro neutrony, nikoli pro obě částice zároveň. S rostoucím protonovým číslem roste i tendence jader mít více neutronů než protonů. Toto však vede ke skutečnosti, že neutrony (kterých je více než protonů) musí zaujímat vyšší energetické stavy než protony, neboť všechny nižší jsou již obsazeny. To vede k vyššímu energetickému stavu jádra (a nižší vazbové energii) a z tohoto hlediska by bylo výhodnější, kdyby počet protonů a neutronů byl přibližně stejný, neboli kdyby se z některých neutronů staly protony. Lze odvodit, že tato skutečnost je úměrná .
Párový (párovací) člen Protony a neutrony mají poloviční spin, který však může nabývat dvou stavů: up a down. Protony a neutrony ale mají tendenci se párovat se stejným nukleonem tak, že spin každého z dvojice se nachází v opačném stavu. Toto párováni vede ke snížení celkové energie jádra, a tedy ke zvýšení vazbové energie: pokud se v jádře nenachází žádný proton nebo neutron, který by nebyl spárován (případ sudo-sudého jádra), pak je energetický stav jádra nejnižší a vazbová energie je vysoká. Ostatní případy buď neovlivňují vazbovou energii (sudo-lichá či licho-sudá jádra mají ), anebo vazbovou energii dokonce snižují (licho-lichá jádra mají ).
Co kapkový model nedokáže vysvětlit Kapkový model nedokáže kvantitativně vysvětlit excitované stavy jader ani nepodává vysvětlení, proč nejsou hmotnosti štěpných fragmentů symetrické: uvažujeme-li štěpení jádra jako deformaci kapky do elipsoidálního tvaru, která se po překonání pružné meze roztrhne na dvě části, pak je nejvyšší pravděpodobnost, že velikost obou částí bude symetrická. Dále nepodává žádné vysvětlení ohledně jistých vlastností jader anebo nedokáže přesně předpovědět jejich hodnoty: tyto nedostatky se týkají zejména spinu, vazbové energie, magnetických momentů, parity atd.
Kapkový model jádra navíc nedokáže zahrnout periodicitu jader v závislosti na jejich počtu nukleonů. To se týká magických jader a rozdíly ve vlastnostech například sudo-sudých a licho-licho jader. Tyto nedostatky dokáže vysvětlit až slupkový model jádra atomu.
Odkazy
Reference
Literatura WILLIAMS, William S. C. Nuclear and particle physics. Reprinted. vyd. Oxford: Clarendon Press 385 s. (Oxford science publications). ISBN 978-0-19-852046-7. POVH, Bogdan; RITH, Klaus; SCHOLZ, Christoph. Particles and Nuclei: An Introduction to the Physical Concepts. Berlin Heidelberg: Springer 396 s. ISBN 978-3-540-20168-7, ISBN 978-3-662-05432-1.
Související články Atomové jádro nukleon proton neutron
Kategorie:Jaderná fyzika Kategorie:Atomová fyzika Kategorie:Kvantová fyzika Kategorie:Proton Kategorie:Neutron