Gaussův zákon magnetismu (též Gaussův zákon pro magnetické pole nebo Gaussův zákon pro magnetismus) je jedna ze čtyř Maxwellových rovnic, která popisuje vlastnosti magnetického pole. Vyjadřuje skutečnost, že magnetické pole nemá zdroje analogické elektrickým nábojům a že magnetické siločáry tvoří uzavřené křivky.
Gaussův zákon magnetismu říká, že celkový tok magnetické indukce libovolnou uzavřenou plochou je nulový. Magnetické pole proto nevzniká ani nezaniká v jednotlivých bodech prostoru, ale má vírový charakter.
V klasické elektrodynamice je Gaussův zákon magnetismu ekvivalentní tvrzení, že v přírodě nebyly pozorovány magnetické monopóly. Pokud by existovaly izolované magnetické náboje, musela by být rovnice odpovídajícím způsobem upravena.
Formulace zákona
Integrální tvar Gaussův zákon magnetismu v integrálním tvaru říká, že celkový tok magnetické indukce libovolnou uzavřenou plochou je nulový:
kde je magnetická indukce, uzavřená plocha a orientovaný plošný element.
Diferenciální tvar Pomocí Gaussovy-Ostrogradského věty lze zákon zapsat v diferenciálním tvaru
Tento vztah vyjadřuje, že divergence magnetického pole je v každém bodě prostoru nulová.
Z Gaussova zákona magnetismu vyplývá, že tok magnetické indukce vstupující do libovolné uzavřené plochy je přesně vyvážen tokem z této plochy vystupujícím. Magnetické pole proto nemá zdroje ani propady analogické elektrickým nábojům. Magnetické siločáry tvoří spojité křivky bez počátečních a koncových bodů, zpravidla uzavřené samy do sebe nebo probíhající nekonečnem.
Fyzikální význam Gaussův zákon magnetismu vyjadřuje, že magnetické pole nemá zdroje analogické elektrickým nábojům. Zatímco elektrické siločáry začínají na kladných nábojích a končí na záporných, magnetické siločáry netvoří izolované začátky ani konce.
Důsledkem je nulový tok magnetické indukce každou uzavřenou plochou. Magnetické siločáry, které do uzavřené plochy vstupují, ji musí opět opustit, takže celkový tok je vždy nulový.
Tento zákon lze názorně ilustrovat na tyčovém magnetu. Magnetické siločáry vystupují z oblasti severního pólu a vstupují do oblasti jižního pólu, uvnitř magnetu však pokračují opačným směrem, takže vytvářejí spojité uzavřené křivky.
Gaussův zákon magnetismu je experimentálně ověřen s vysokou přesností. Dosud nebyly pozorovány žádné izolované magnetické náboje, které by představovaly zdroje nebo propady magnetického pole podobně, jako elektrické náboje představují zdroje elektrického pole.
Vztah k vektorovému potenciálu Gaussův zákon magnetismu umožňuje zavést vektorový potenciál , pomocí něhož lze magnetickou indukci vyjádřit ve tvaru
Protože divergence rotace je identicky nulová,
je Gaussův zákon magnetismu automaticky splněn pro každé pole vyjádřené tímto způsobem.
V jednoduše souvislé oblasti lze naopak každé dostatečně hladké magnetické pole s nulovou divergencí vyjádřit jako rotaci vhodného vektorového potenciálu. Tento výsledek je speciálním případem Helmholtzova rozkladu vektorového pole.
Vektorový potenciál není určen jednoznačně. Je-li řešením rovnice pro dané magnetické pole, pak je řešením také pole
kde je libovolná skalární funkce. Platí totiž
protože rotace gradientu je identicky nulová,
Tato nejednoznačnost vektorového potenciálu se označuje jako kalibrační invariance (též kalibrační volnost) a umožňuje zavádět různé kalibrace, například Coulombovu nebo Lorenzovu kalibraci.
Vztah k magnetickým siločarám náhled|vpravo|Magnetické siločáry válcového permanentního magnetu. Siločáry magnetické indukce tvoří spojité uzavřené křivky bez počátečních a koncových bodů, což odpovídá Gaussovu zákonu magnetismu.
Gaussův zákon magnetismu má názornou geometrickou interpretaci pomocí magnetických siločar. Protože magnetické pole nemá zdroje ani propady analogické elektrickým nábojům, nemohou magnetické siločáry začínat ani končit v žádném bodě prostoru.
Magnetické siločáry proto tvoří spojité křivky, které se buď uzavírají samy do sebe, nebo pokračují do nekonečna a vracejí se z něj zpět. Každá siločára, která vstoupí do uzavřené plochy, musí tuto plochu opět opustit, takže celkový tok magnetické indukce uzavřenou plochou je nulový.
V případě permanentního magnetu siločáry vně magnetu vystupují z oblasti severního pólu a vstupují do oblasti jižního pólu. Uvnitř magnetu však pokračují opačným směrem, čímž vytvářejí uzavřené smyčky. Severní a jižní pól magnetu proto nepředstavují zdroje magnetického pole, ale pouze oblasti, kde magnetické siločáry vystupují z magnetu nebo do něj vstupují.
Magnetické monopóly náhled|vpravo|Rozdělením permanentního magnetu nevzniknou izolované magnetické monopóly. Každá část si zachová vlastní severní a jižní pól.
Gaussův zákon magnetismu je v klasické elektrodynamice ekvivalentní tvrzení, že v přírodě neexistují izolované magnetické náboje neboli magnetické monopóly. Zatímco elektrické náboje mohou existovat samostatně jako kladné nebo záporné, magnetické póly se vždy vyskytují ve dvojicích tvořících magnetický dipól.
Rozdělením permanentního magnetu nevzniknou izolované severní a jižní póly. Místo toho vzniknou dva nové magnety, z nichž každý má vlastní severní i jižní pól. Tato skutečnost je v souladu s Gaussovým zákonem magnetismu a experimentálně pozorovanou strukturou magnetického pole.
Pokud by magnetické monopóly existovaly, musel by být Gaussův zákon magnetismu upraven obdobně, jako je tomu u Gaussova zákona elektrostatiky. Diferenciální tvar rovnice by pak měl tvar
kde označuje hustotu magnetického náboje.
Možnost existence magnetických monopólů byla studována v řadě teoretických modelů a některých teoriích sjednocení interakcí. Přestože byly navrženy různé experimentální metody jejich detekce, žádný magnetický monopól dosud nebyl jednoznačně pozorován.
Maxwellovy rovnice
Gaussův zákon magnetismu je jednou ze čtyř Maxwellových rovnic, které tvoří základ klasické elektrodynamiky. Společně s Gaussovým zákonem elektrostatiky, Faradayovým zákonem elektromagnetické indukce a Ampérovým-Maxwellovým zákonem popisuje vlastnosti a dynamiku elektromagnetického pole.
V diferenciálním tvaru se Gaussův zákon magnetismu zapisuje jako
a představuje jedinou Maxwellovu rovnici, která neobsahuje zdrojový člen. Vyjadřuje tak absenci magnetických nábojů a skutečnost, že magnetické pole nemá zdroje analogické elektrickým nábojům.
Odkazy
Reference
Související články
Kategorie:Parciální diferenciální rovnice Kategorie:Magnetismus