Vlákno (anglicky fiber nebo britsky fibre) je v topologii, diferenciální geometrii a teorii vláknových svazků inverzní obraz bodu báze při projekci.

Vlákno představuje základní stavební prvek prostorů vybavených projekcí na bázi. Ve vláknovém svazku jsou všechna vlákna lokálně homeomorfní typickému vláknu , globálně však může mít celkový prostor netriviální topologickou strukturu.

Pojem vlákna je úzce spojen s pojmy projekce a řez. Zatímco projekce přiřazuje každému bodu celkového prostoru bod báze, řez vybírá z každého vlákna jeden bod.

Definice

Je-li dána projekce

pak vláknem nad bodem rozumíme inverzní obraz bodu při zobrazení , tj. množinu

Jinými slovy, vlákno nad bodem tvoří všechny body celkového prostoru , které se při projekci zobrazí do bodu .

Ve vláknovém svazku jsou všechna vlákna lokálně homeomorfní typickému vláknu . Lokálně proto platí

kde je vhodné okolí bodu báze.

Vlákna nad různými body báze jsou obecně různé podmnožiny celkového prostoru, avšak ve vláknovém svazku mají stejnou lokální topologickou strukturu.

Vlákna ve vláknovém svazku

Ve vláknovém svazku tvoří vlákna nad jednotlivými body báze souvislou rodinu prostorů propojených projekcí

Vláknový svazek je tvořen celkovým prostorem , bází , projekcí a typickým vláknem . Pro každé dostatečně malé okolí platí

takže všechna vlákna jsou lokálně homeomorfní typickému vláknu .

Příkladem je tečný svazek, ve kterém vláknem nad bodem je tečný prostor , nebo kotečný svazek, jehož vláknem je kotečný prostor .

Příklady

Triviální svazek

U triviálního svazku

je vláknem nad bodem množina

která je homeomorfní typickému vláknu .

Möbiova páska

Möbiova páska tvoří netriviální přímkový svazek nad kružnicí . Vlákna nad jednotlivými body kružnice jsou úsečky, jejichž vzájemné uspořádání vede ke vzniku netriviální topologické struktury celkového prostoru.

Tečný svazek

V tečném svazku variety je vláknem nad bodem tečný prostor

Celkový prostor tečného svazku je sjednocením všech tečných prostorů variety:

Každé vlákno tedy obsahuje všechny tečné vektory ukotvené v daném bodě variety.

Kotečný svazek

V kotečném svazku je vláknem nad bodem kotečný prostor

tj. prostor lineárních funkcionálů definovaných na tečném prostoru .

Odkazy reference

Související pojmy Topologie

Kategorie:Topologie