odkaz=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Gaussian_curvature.svg|náhled|zleva doprava: plocha s negativní Gaussovou křivostí (rotační hyperboid), s nulovou (válcová plocha) a s kladnou (kulová plocha). Gaussova křivost je v diferenciální geometrii skalární veličina, která charakterizuje zakřivení plochy v daném bodě.

Představuje jednu ze základních charakteristik geometrie ploch a umožňuje rozlišovat mezi oblastmi s kladnou, zápornou nebo nulovou křivostí.

Gaussova křivost je vnitřní (intrinsická) vlastnost plochy. Její hodnota závisí pouze na geometrii plochy samotné a nikoli na způsobu jejího vložení do okolního prostoru.

Pojem zavedl německý matematik Carl Friedrich Gauss při studiu diferenciální geometrie ploch a stal se jedním ze základních pojmů moderní geometrie.

Definice Nechť a označují hlavní křivosti plochy v daném bodě. Gaussova křivost je definována jako jejich součin

Gaussova křivost je funkcí definovanou na ploše, která každému bodu přiřazuje reálné číslo udávající míru lokálního zakřivení.

V diferenciální geometrii lze Gaussovu křivost vyjádřit také pomocí první a druhé fundamentální formy plochy.

Geometrický význam Znaménko Gaussovy křivosti určuje lokální charakter zakřivení plochy.

Pokud , mají obě hlavní křivosti stejné znaménko. Plocha je v okolí daného bodu lokálně podobná sféře. Pokud , je alespoň jedna z hlavních křivostí nulová. Příkladem je rovina nebo válec. Pokud , mají hlavní křivosti opačná znaménka. Plocha má v okolí bodu sedlový tvar.

Gaussova křivost tak umožňuje rozlišovat mezi konvexními, plochými a sedlovými oblastmi povrchu.

Na rozdíl od některých jiných charakteristik zakřivení závisí pouze na geometrii plochy samotné. Nezávisí na tom, jak je plocha vložena do okolního prostoru.

Theorema Egregium Gaussovo Theorema Egregium (latinsky „pozoruhodná věta“) patří mezi nejvýznamnější výsledky diferenciální geometrie. Ukazuje, že Gaussovu křivost lze určit pouze z metrických vlastností plochy, bez znalosti jejího vložení do okolního prostoru.

Gaussova křivost je tedy vnitřní (intrinsická) vlastností plochy. Nezávisí na tom, jak je plocha zakřivena v okolním prostoru, ale pouze na vzdálenostech měřených přímo na ploše.

Důsledkem této věty je například skutečnost, že rovina a válec mají v každém bodě stejnou Gaussovu křivost

přestože jejich tvar v trojrozměrném prostoru je odlišný. Válec lze totiž bez deformace rozvinout do roviny.

Theorema Egregium představovalo významný krok ve vývoji Riemannovy geometrie a pozdější teorie zakřivených prostorů.

Vztah ke Gaussově mapě Gaussova mapa přiřazuje každému bodu plochy jednotkový normálový vektor. Tím převádí body plochy na body jednotkové sféry.

Gaussova křivost vyjadřuje, jak rychle se normálové vektory při pohybu po ploše mění. Lze ji interpretovat jako lokální změnu obsahu při zobrazení plochy pomocí Gaussovy mapy.

Přesněji řečeno, Gaussova křivost je rovna determinantu diferenciálu Gaussovy mapy

kde označuje Gaussovu mapu a její diferenciál.

Gaussova křivost tak popisuje, jak se při Gaussově zobrazení deformují nekonečně malé oblasti plochy.

Vztah ke Gaussově–Bonnetově větě Gaussova–Bonnetova věta vytváří hlubokou souvislost mezi geometrií a topologií ploch. Ukazuje, že integrál Gaussovy křivosti přes plochu souvisí s její Eulerovou charakteristikou.

Pro kompaktní orientovanou plochu bez hranice platí

kde je Gaussova křivost, plošný element a Eulerova charakteristika plochy.

Gaussova–Bonnetova věta ukazuje, že celková Gaussova křivost plochy není pouze geometrickou veličinou, ale souvisí také s její topologickou strukturou.

Příklady

Kulová plocha Pro kulovou plochu o poloměru je Gaussova křivost ve všech bodech konstantní a rovna

Kulová plocha je příkladem plochy s kladnou Gaussovou křivostí.

Válec Pro kruhový válec platí

Přestože je válec v trojrozměrném prostoru zakřivený, jeho Gaussova křivost je nulová, protože jej lze bez deformace rozvinout do roviny.

Použití Gaussova křivost je jedním ze základních pojmů diferenciální geometrie a Riemannovy geometrie. Umožňuje popisovat lokální vlastnosti zakřivených ploch a studovat vztahy mezi jejich geometrií a topologií.

Významnou roli hraje v geodézii, kartografii a při studiu zakřivených povrchů v technických a přírodních vědách.

Myšlenka Gaussovy křivosti se stala východiskem pro zavedení obecnějších pojmů křivosti na vícerozměrných varietách, zejména Riemannova tenzoru křivosti.

Odkazy

Reference

Související články Gaussova mapa Gaussova–Bonnetova věta

Externí odkazy

Kategorie:Geometrie Kategorie:Topologie Kategorie:Diferenciální geometrie