El teorema de Ehrenfeucht-Mostowski es un resultado de la teoría de modelos que garantiza la existencia de modelos de una teoría de primer orden provistos de secuencias de indiscernibles con un tipo de orden prefijado. Fue demostrado por Andrzej Ehrenfeucht y Andrzej Mostowski en 1956.

El resultado constituye una técnica fundamental para construir modelos con propiedades controladas, particularmente modelos con automorfismos no triviales, y ha tenido aplicaciones importantes en la teoría de la clasificación y en la teoría de conjuntos.

Enunciado Sea una teoría de primer orden que posee un modelo infinito y sea un orden lineal. Entonces existe un modelo y una familia de elementos distintos

de que forma una secuencia de indiscernibles de orden.

Esto significa que, para toda fórmula del lenguaje de y cualesquiera índices

y

de , se cumple

Por tanto, desde el punto de vista de las fórmulas del lenguaje, dos tuplas crecientes de la misma longitud tomadas de la secuencia no pueden distinguirse entre sí. El orden utilizado para indexar los indiscernibles no necesita ser una relación definible en .

Idea de la demostración La demostración combina el teorema de Ramsey con el teorema de compacidad.

Se amplía el lenguaje con constantes , una para cada , y se exige que distintas constantes representen elementos distintos y que todas las tuplas crecientes de la misma longitud satisfagan las mismas fórmulas. Para cualquier fragmento finito de estas condiciones, el teorema de Ramsey permite encontrar en un modelo infinito de un conjunto finito lo suficientemente grande y homogéneo respecto de las fórmulas consideradas. De este modo, cada subconjunto finito de las condiciones es satisfacible.

El teorema de compacidad garantiza entonces la existencia de un modelo que satisface simultáneamente todas ellas. Las interpretaciones de las constantes forman en ese modelo la secuencia de indiscernibles requerida.

Modelos de Ehrenfeucht-Mostowski La construcción puede reforzarse mediante funciones de Skolem. Si el lenguaje ha sido apropiadamente skolemizado y es una secuencia de indiscernibles, se considera la clausura de estos elementos bajo las funciones de Skolem. El modelo obtenido se denomina modelo de Ehrenfeucht-Mostowski y suele denotarse

donde es el orden lineal utilizado como «esqueleto» y codifica el tipo que deben realizar las tuplas crecientes de indiscernibles.

En esta construcción, los elementos del modelo se obtienen aplicando términos de Skolem a sucesiones finitas de elementos del esqueleto. Por ello, las propiedades combinatorias del orden pueden reflejarse en la estructura del modelo.

En particular, todo automorfismo del orden induce, bajo la construcción usual, un automorfismo del modelo de Ehrenfeucht-Mostowski generado por sus indiscernibles. Esta propiedad explica el objetivo original de Ehrenfeucht y Mostowski de construir modelos de teorías axiomáticas con grupos de automorfismos lo suficientemente ricos.

Importancia Los modelos de Ehrenfeucht-Mostowski proporcionan una forma sistemática de construir estructuras grandes a partir de órdenes lineales. Entre sus aplicaciones se encuentran la construcción de modelos con automorfismos no triviales y el estudio del número de modelos no isomorfos de determinadas teorías.

La técnica adquirió posteriormente un papel importante en los trabajos de Michael Morley y Saharon Shelah sobre categoricidad y teoría de la clasificación. La elección de órdenes lineales con propiedades distintas permite, en determinadas clases de teorías, construir grandes familias de modelos no isomorfos.

La construcción también aparece en teoría de conjuntos, donde secuencias de indiscernibles desempeñan un papel en el estudio del universo constructible y de .

Historia Ehrenfeucht y Mostowski introdujeron la construcción en «Models of axiomatic theories admitting automorphisms», publicado en 1956 en Fundamenta Mathematicae. Su motivación original estaba estrechamente vinculada con la construcción de modelos de teorías de primer orden que poseyeran grupos grandes de automorfismos.

La construcción fue incorporada posteriormente a las técnicas estándar de la teoría de modelos y desarrollada en relación con los indiscernibles, la categorización de modelos y la teoría de estabilidad.

Véase también

Teoría de modelos Teorema de compacidad Teorema de Ramsey Automorfismo Teorema de Löwenheim-Skolem Juego de Ehrenfeucht–Fraïssé

Referencias

Bibliografía

Categoría:Teoría de modelos