vignette|Un espace topologique séparé X est dit normal lorsque, pour tous fermés disjoints E et F de X, il existe des ouverts disjoints U et V tels que U contienne E et V, F.

En mathématiques, un espace normal est un espace topologique vérifiant un axiome de séparation plus fort que la condition usuelle d'être un espace séparé. Cette définition est à la base de résultats comme le lemme d'Urysohn ou le théorème de prolongement de Tietze. Tout espace métrisable est normal.

Définition

Soit X un espace topologique. On dit que X est normal. s'il est séparé et s'il vérifie de plus l'axiome de séparation T4Il suffit pour cela qu'il vérifie T et T. : pour tous fermés disjoints F et G, il existe deux ouverts disjoints U et V tels que F soit inclus dans U et G dans V.

Exemples Tout espace topologique métrisable est normalF. Paulin Topologie, analyse et calcul différentiel, École Normale supérieure (2008-2009), ..En effet, il est parfaitement normal, ce qui entraîne qu'il est normal et même complètement normal.Par exemple : ℝ muni de sa topologie usuelle est normal. Tout ensemble totalement ordonné, muni de la topologie de l'ordre, est (complètement) normal car (héréditairement) collectivement normal et même monotonement normal. Tout espace compact est normal.. Plus généralement, tout espace paracompact est collectivement normal. Un exemple d'espace compact non complètement normal est la planche de Tychonoff. En effet, la planche de Tychonoff épointée n'est pas normale (bien que localement compacte).

Propriétés Propriétés élémentaires Si deux espaces topologiques sont homéomorphes et si l'un d'eux est normal, l'autre l'est aussi. Tout fermé d'un espace normal est normal (pour la topologie induite).

Conditions nécessaires et suffisantes Il existe de nombreuses caractérisations de la propriété T (donc de la normalité, quand on impose de plus à l'espace d'être séparé). Ces caractérisations sont à l'origine des propriétés donnant de la valeur à la définition. Citons-en trois, dont la première n'est qu'une reformulation élémentaire mais les deux autres sont bien plus techniques :

Un espace topologique X est T si, et seulement si, pour tout fermé F de X et tout ouvert O contenant F, il existe un ouvert U contenant F tel que l'adhérence de U soit incluse dans O. :

Lemme d'Urysohn : Un espace topologique X est T si, et seulement si, pour tous fermés disjoints F et G de X, il existe une fonction continue qui vaut 0 sur F et 1 sur G. Théorème de prolongement de Tietze : Pour un espace topologique X, les trois propositions suivantes sont équivalentes : X est T ; pour tout fermé F de X et toute application continue f de F dans ℝ, il existe une application continue de X dans ℝ qui prolonge f ; pour tout fermé F de X et toute application continue f de F dans un segment réel [–M, M], il existe une application continue de X dans [–M, M] qui prolonge f. Un espace X est T (si et) seulement si tout recouvrement ouvert localement fini de X possède une partition de l'unité subordonnée.

Condition suffisante de non-normalité

Soit X un espace séparable, c'est-à-dire contenant un sous-ensemble dénombrable dense D. Toute application continue de X dans ℝ est alors déterminée par sa restriction à D, donc l'ensemble de ces applications est de cardinal inférieur ou égal à |ℝ| = (2) = 2.

Soit F un fermé discret de cardinal 2. L'ensemble des applications continues de F dans ℝ est alors de cardinal 2 > 2, donc elles ne sont pas toutes continûment prolongeables à X.

D'après le théorème de prolongement de Tietze, X n'est donc pas normal.

Par cet argument, le plan de Sorgenfrey et le plan de Moore ne sont pas normaux.

La non-normalité du plan de Sorgenfrey prouve que le produit de deux espaces normaux n'est pas toujours normal (voir aussi : Droite de Michael).

Histoire Cette notion provient du mathématicien Heinrich Tietze et date de 1923, éd. 2006, ou , .. Nicolas Bourbaki précise à son sujet :

Notes et références

Voir aussi Articles connexes

Espace de Moore (topologie)

Théorème de Phragmén-Brouwer

Ouvrage

Liens externes

Normal