Les solides de Kepler-Poinsot sont les polyèdres étoilés réguliers. Trois sont des dodécaèdres. Leurs faces sont des polygones réguliers isométriques, soit convexes, soit étoilés. Chaque solide possède à chaque sommet le même nombre de faces partageant ce sommet. À la différence des solides de Platon), leurs faces peuvent s'intersecter.

Il existe quatre solides de Kepler-Poinsot : le petit dodécaèdre étoilé le grand dodécaèdre étoilé le grand dodécaèdre le grand icosaèdre.

Géométrie Le petit et le grand dodécaèdre étoilé ont des faces en forme de pentagrammes non convexes réguliers. Le grand dodécaèdre a des faces en forme de pentagone régulier convexe, le grand icosaèdre a des faces en forme de triangle équilatéral, et ils ont des figures de sommets en forme de pentagrammes. Le grand dodécaèdre et le petit dodécaèdre étoilé sont duaux de même que le grand icosaèdre et le grand dodécaèdre étoilé.

Les représentations peuvent induire en erreur : les arêtes et les sommets peuvent être supposés de manière erronée où les faces se coupent, mais ils ne sont pas comptés.

Si les intersections sont comptées comme de nouvelles arêtes et de nouveaux sommets, ils ne seront pas réguliers, mais ils peuvent encore être considérés dans les stellations (voir aussi la ).

Nom ImageSymbole deSchläfli{p,q}Faces{p}ArêtesSommets{q}figsom.χSymétrieDualPetit dodécaèdre étoilé80px{5/2,5}12{5/2}30px3012{5}30px -6IhGrand dodécaèdreGrand dodécaèdre étoilé80px{5/2,3}12{5/2}30px3020{3}30px2IhGrand icosaèdreGrand dodécaèdre80px{5,5/2}12{5}30px3012{5/2}30px -6IhPetit dodécaèdre étoiléGrand icosaèdre80px{3,5/2}20{3}30px3012{5/2}30px2IhGrand dodécaèdre étoilé

Histoire Un petit dodécaèdre étoilé apparait dans une mosaïque du sol de la basilique Saint-Marc de Venise en Italie. Il date du et est quelquefois attribué à Paolo Uccello.

Dans sa Perspectiva corporum regularium (Perspectives des solides réguliers) Bilder von Wentzel Jamnitzer aus der Perspectiva Corporum Regularium , un livre de gravures sur bois publié au , Wenzel Jamnitzer dépeint le grand dodécaèdre. Il est clair, à partir de l'arrangement général du livre, qu'il considère les cinq solides de Platon comme réguliers, sans comprendre la nature régulière de son grand dodécaèdre. Il dépeint aussi une figure souvent confondue avec le grand dodécaèdre étoilé, bien que les surfaces triangulaires des bras ne sont pas tout à fait coplanaires, il possède 60 faces triangulaires.

Les solides de Kepler ont été découverts par Johannes Kepler en 1619. Il les obtint par stellation du dodécaèdre convexe régulier, d'abord en le traitant comme une surface plutôt qu'un solide. Il nota qu'en étendant les arêtes ou les faces du dodécaèdre convexe jusqu'à ce qu'elles se rencontre à nouveau, il pouvait obtenir des pentagones étoilés. De plus, il reconnut que ces pentagones étoilés étaient aussi réguliers. Il trouva deux dodécaèdres étoilés de cette manière, le petit et le grand. Chacun possède la région convexe centrale de chaque face "cachée" avec l'intérieur, avec seulement le bras triangulaire visible. L'étape finale de Kepler fut de reconnaitre que ces polyèdres coïncidaient avec la définition des solides réguliers, même s'ils n'étaient pas convexes, comme l'étaient les solides de Platon traditionnels.

En 1809, Louis Poinsot redécouvrit ces deux figures. Il a considéré aussi les sommets étoilés aussi bien que les faces étoilés, et ainsi découvrit deux étoiles régulières de plus, le grand icosaèdre et le grand dodécaèdre. Certaines personnes appellent celles-ci les solides de Poinsot. Poinsot ne savait pas s'il avait découverts tous les polyèdres étoilés réguliers.

Trois ans plus tard, Augustin Cauchy démontra que la liste était complète, et presque un demi-siècle plus tard Bertrand fournit une démonstration plus élégante en facettant les solides de Platon.

Les solides de Kepler-Poinsot reçurent leurs noms l'année suivante, en 1859, par Arthur Cayley.

La caractéristique d'Euler

Un solide de Kepler-Poinsot couvre sa sphère circonscrite plus d'une fois. À cause de cela, ils ne sont pas nécessairement topologiquement équivalent à la sphère comme le sont les solides de Platon, et en particulier, la caractéristique d'Euler

S - A + F = 2

n'est pas toujours valide.

La valeur de la caractéristique d'Euler χ dépend de la forme du polyèdre. Considérons par exemple le petit dodécaèdre étoilé . Il est constitué d'un dodécaèdre régulier avec une pyramide pentagonale sur chacune de ses douze faces. Chacune des douze faces est un pentagramme avec la partie pentagonale cachée dans le solide. La partie extérieure de chaque face est constituée de cinq triangles qui se touchent seulement en cinq points. Alternativement, nous pourrions compter ces triangles comme des faces séparées - il y en 60 (mais ils sont seulement des triangles isocèles, et non des polygones réguliers). De manière similaire, chaque arête serait maintenant divisée en trois arêtes (mais alors, ils sont de deux sortes). Les "cinq points" que l'on vient de mentionner, forment ensemble les 20 sommets supplémentaires, ainsi, nous avons un total de 32 sommets (de sortes, de nouveau). Les pentagones internes cachés ne sont pas nécessaires pour former la surface du polyèdre et peuvent disparaitre. Maintenant, la relation d'Euler est valable : 60 - 90 + 32 = 2. Néanmoins, ce polyèdre n'est pas celui décrit par le symbole de Schläfli {5/2,5}, et donc, ne peut pas être un solide de Kepler-Poinsot même s'il y ressemble encore d'aspect extérieur. vignette|Sculpture reproduisant le petit dodécaèdre étoilé de la Gravitation d'Escher, à l'université de Twente

Anecdotes Une dissection d'un grand dodécaèdre a été utilisée pour le puzzle des années 80, l'étoile d'Alexandre. L'intérêt de l'artiste M.C. Escher dans les formes géométriques a souvent conduit à baser ses travaux sur des solides réguliers ou à les inclure; est basé sur un petit dodécaèdre étoilé.

Notes et références

J. Bertrand, Note sur la théorie des polyèdres réguliers, CRAS, 46, 1858, p. 79-82, 117 Augustin Louis Cauchy, Recherches sur les polyèdres. J. de l'École Polytechnique 9, 1813, 68-86 Arthur Cayley, On Poinsot's Four New Regular Solids. Philos. Mag. 17, 1859, p. 123-127 et 209 P. Cromwell, Polyhedra, CUP, Hbk. 1997, Ppk. 1999. Theoni Pappas, (The Kepler-Poinsot Solids) The Joy of Mathematics. San Carlos, Wide World Publ./Tetra, 1989, p. 113 Louis Poinsot, Mémoire sur les polygones et polyèdres, J. de l'École Polytechnique 9, p. 16-48, 1810 , Dual Models, CUP, 1983, p. 39-41

Voir aussi

Articles connexes Patron (géométrie) Polytope régulier Polyèdre uniforme Composé polyédrique Liens externes

Kepler-Poinsot Solids (modèles papier) sur software3d.com Pictures of Kepler-Poinsot Polyhedra (modèles papier) sur korthalsaltes.com The Uniform Polyhedra sur mathconsult.ch The Kepler-Poinsot Polyhedra (modèles VRML) sur le site de Stellation and facetting - a brief history sur steelpillow.com Construction des polyèdres étoilés de Kepler-Poinsot (patrons) sur le site de X. Hubaut

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