La formule du nivellement barométrique décrit la répartition verticale des molécules de gaz dans l'atmosphère de la Terre, et donc la variation de la pression atmosphérique en fonction de l'altitude.
On parle ainsi d'un gradient vertical de pression, mais qui ne peut être décrit mathématiquement qu'en approximations, en raison de la dynamique de la météorologie dans l'atmosphère inférieure. En première approximation, on peut supposer que près du niveau de la mer, la pression diminue d'un hectopascal quand l'altitude augmente de .
Équation hydrostatique La variation de la pression et de la masse volumique de l'air dans l'atmosphère est décrite par l'équation de la statique des fluides.
M est la masse molaire moyenne des gaz de l'atmosphère (), g l'accélération de la pesanteur (), R la constante universelle des gaz parfaits () et T la température absolue (K).
L'équation hydrostatique décrit de quelle quantité dp la pression atmosphérique varie pour une petite variation dh de l'altitude. Comme le montre la présence du signe moins, dp est négatif quand dh est positif : la pression diminue quand l'altitude augmente. Par exemple, à une pression moyenne de p = au niveau de la mer et pour une température de (), la pression diminue de lorsque l'altitude augmente de , et de quand l'altitude augmente de . On appellera échelon barométrique la différence d'altitude pour laquelle la différence de pression est de . Pour des altitudes et des températures plus importantes, la pression varie moins vite et l'échelon barométrique augmente. vignette|Courbe de pression atmosphérique moyenne (p en ) en fonction de l'altitude (au-dessus du niveau de la mer, p(h) = ) (h en km), à température atmosphérique constante. De manière générale, on souhaite obtenir des valeurs explicites de la pression ou de la masse volumique en fonction de l'altitude. On peut obtenir les variations de pression pour de grandes variations d'altitude en utilisant la méthode de séparation des variables :
puis en intégrant l'équation barométrique : .
L'intégration du terme de gauche donne . Pour intégrer le terme de droite, il nous faut connaître la dépendance à l'altitude de T et g. L'accélération de la pesanteur peut être considérée comme constante pour des altitudes raisonnables. En revanche, T varie de manière complexe et imprévisible en fonction de l'altitude. Il est donc nécessaire d'émettre des hypothèses simplificatrices sur l'évolution de T en fonction de l'altitude h.
Atmosphère isotherme
La formule du nivellement barométrique pour l'atmosphère isotherme est l'hypothèse la plus souvent citée dans les cours ou la littérature introductive. La température T est uniforme quelle que soit l'altitude.
Établissement à partir de l'équation barométrique
Pour T constant, et en introduisant l'altitude caractéristique , on simplifie l'équation en :
À chaque augmentation de l'altitude de hs, la pression diminue d'un facteur . L'altitude caractéristique est ainsi une mesure naturelle pour la hauteur de l'atmosphère et de l'évolution de la pression en son sein. Pour ce modèle d'atmosphère, elle vaut environ pour T = .
La masse volumique s'exprime de manière similaire :
Pour un observateur descendant une montagne, la pression augmente continûment, puisqu'une colonne atmosphérique de plus en plus lourde repose sur lui.
Ici l'augmentation est exponentielle, car l'air est compressible : pour chaque mètre de variation d'altitude, le poids d'une colonne d'air reposant sur une certaine surface augmente du poids du volume de la colonne d'air qui s'y ajoute. Ce poids dépend de la densité de l'air, qui dépend elle-même de la pression. La pression augmente donc d'autant plus vite qu'elle est déjà importante. (Si une grandeur varie d'une valeur proportionnelle à cette grandeur, la variation globale sera exponentielle.)
Établissement à partir de la physique statistique Considérons un système de particules à l'équilibre thermique à la température T (qui a donc la même température en tout point) dont les particules peuvent occuper des niveaux d'énergie Ej répartis discrètement ou continûment.
Du point de vue énergétique, on a supposé ici les hypothèses du théorème d'équipartition vérifiées. Mais cette hypothèse n'est en général vérifiée que pour une atmosphère dense, seul cas où les énergies entre les différents degrés de liberté peuvent être échangés par chocs entre les molécules de gaz.
(Justification : Le théorème d'équipartition n'est en général valable que pour les hautes énergies car il ne peut être utilisé directement que sur des potentiels de forme quadratiques dans la fonction de Hamilton. Comme l'énergie potentielle d'altitude n'est que linéaire dans la fonction de Hamilton, on ne peut en général pas supposer le théorème d'équipartition valide pour les gaz très dilués.)
Atmosphère adiabatique
En introduisant le facteur , on a pour la pression, la masse volumique et la température :
La variation de température est linéaire.
En considérant : l'exposant adiabatique de l'air sec κ = 1,402, l'accélération de la pesanteur g = , la masse volumique ρ0 = , la pression p0 = 1,013 bar la température à T0 = 288 K l'altitude h0
on a :
et le gradient de température vaut :
C'est environ le gradient de température indiqué dans la section suivante, qui lui est en revanche déterminé à partir de l'expansion adiabatique de l'air humide : l'exposant adiabatique de l'air humide est plus faible que l'exposant adiabatique de l'air sec, et donc h0 croît.
D'autres limitations de l'hypothèse adiabatique : Si l'air devient très froid, l'exposant adiabatique de l'air sec varie également. À de très grandes altitudes (densité faible), le libre parcours moyen devient très grand, et les équations ne sont plus valables. En outre, l'effet de serre invalide l'hypothèse adiabatique selon laquelle il n'y a pas d'échanges énergétiques avec l'environnement.
Atmosphère avec évolution de température linéaire Établissement Dans le cas général, la température n'est pas constante mais varie avec l'altitude. L'hypothèse la plus simple pour tenir compte de cette variation est de supposer une diminution linéaire de la température avec l'altitude. Ainsi pour la température T(h) : , où a est la valeur (positive) du gradient de température vertical, qui indique de combien de kelvins la température diminue par mètre de différence d'altitude.
La formule du nivellement barométrique pour une variation linéaire de la température devient :
Et pour la masse volumique :
L'exposant est diminué de 1 car le rapport entre pression et masse volumique dépend de la température.
En aéronautique, cette formule du nivellement barométrique "étendue" est à la base de la fonction du nivellement barométrique pour l'atmosphère standard, où l'atmosphère est discrétisée en couches élémentaires avec interpolation linéaire de l'évolution de la température. En commençant par la couche la plus basse, la température et la pression à la frontière haute d'une couche élémentaire sont calculées, et utilisées comme données pour la frontière basse de la couche suivante. Ainsi, on construit de manière inductive le modèle de l'atmosphère tout entière.
Gradients de température typiques
Comme le montrent des mesures des profils de température dans l'atmosphère, l'hypothèse de l'évolution linéaire de la température est une bonne approximation, même s'il apparaît dans certains cas des déviations importantes (en particulier lors d'inversions météorologiques).
L'origine principale de cette diminution de la température avec l'altitude est que les couches basses de l'atmosphère sont chauffées par la surface de la Terre (elle-même chauffée par le soleil), tandis que les couches hautes rayonnent de la chaleur vers l'espace. À ceci s'ajoutent des variations de température adiabatiques sèches ou humides de paquets d'air ascendants ou descendants, et d'autres modifications dues au mélange de masses d'air d'origines différentes.
Dans des masses d'air chaud, le gradient de température prend des valeurs de 0,3 à 0,5 K pour , des valeurs de 0,6 à 0,8 K pour dans l'air froid, et 0,65 K pour en moyenne. Dans des zones de vallées, des inversions météorologiques régulières peuvent faire baisser le gradient de température jusqu'à 0,5 K pour , voire à 0,4 K pour durant les mois d'hiver.
On se limitera à la description des variations de température et de pression dans la troposphère. Dans la stratosphère, la température diminue moins vite, voire augmente à nouveau par l'absorption de rayons UV dans la couche d'ozone.
Pour un gradient de température de 0,65 K pour , l'exposant Mg/Ra prend la valeur numérique approchée de 5,25579 (avec les valeurs numériques les plus précises de M=0,0289644, g=9,80665 et R=8,31446261815), résultat qui est arrondi — de façon erronée — à 5,255 (au lieu de 5,256) :
Sous cette forme (et en prenant dans la suite des calculs l'exposant arrondi à 5,255, et non pas à 5,256), on peut utiliser la formule de nivellement dans le cas courant où l'on connaît la température et la pression à une des deux altitudes, mais pas le gradient de température.
Altitudeen mPressionen hPaBaisseen %1013,250954,615,78898,7611,30845,5816,55794,9821,54746,8626,29701,1230,80657,6835,09616,4539,16577,3343,02540,2546,68471,8753,43410,6659,47356,0664,86307,4869,65264,4273,90226,3777,66
On obtient également le tableau suivant pour la dépendance à l'altitude et à la température de l'échelon de nivellement barométrique :
échelon de nivellement barométrique [m/hPa]h −15 °C 15 °C0 m7,57,98,38,87,98,38,79,28,38,79,29,69,39,710,110,610,410,811,211,6
Pour des altitudes et des températures moyennes, on utilise souvent la formule « 1 hPa / 30ft ». Cette approximation est souvent utilisée par les pilotes pour des calculs mentaux rapides.
Formule internationale du nivellement barométrique
En prenant le niveau de la mer comme altitude de référence h0, et en prenant pour l'atmosphère un état moyen défini par l'atmosphère normalisée type OACI (Température = 288,15 K, pression 1013,25 hPa, gradient vertical de température 0,65 K pour ), on obtient la formule internationale du nivellement barométrique :
Cette formule permet le calcul de la pression à une certaine altitude, sans avoir besoin de connaître la température ou le gradient vertical de température. La précision dans le cas d'applications pratiques est toutefois limitée, puisque l'on choisit ici un état moyen différent de l'état réel de l'atmosphère.
Cas général Dans le cas général, la solution de l'équation barométrique est : , soit
avec une intégrale restant à calculer.
Température virtuelle La constante des gaz parfaits R est une constante universelle et peut être sortie de l'intégrale. La masse molaire moyenne des gaz de l'atmosphère M est, sauf en cas de très fortes variations de l'humidité de l'air, pratiquement constante au sein de la troposphère et peut également être sortie de l'intégrale. Dans une atmosphère au repos, les différences d'altitude caractéristique hs entre les différents gaz de l'atmosphère, qui ont des masses molaires différentes, pourraient conduire à une séparation des gaz, les gaz les plus légers se concentrant dans les couches supérieures et les gaz lourds dans les couches inférieures. Mais ce n'est pas le cas grâce à un mélange important des gaz dû aux conditions météorologiques dans la troposphère. La variation de l'humidité de l'air ainsi que d'autres causes de variation de M peuvent être prises en compte en considérant la température virtuelle correspondante Tv au lieu de la température réelle T. On peut ainsi utiliser pour M la valeur de la masse molaire de l'air sec au niveau de la mer.
Altitude géopotentielle