En algèbre, le lemme de Goursat est un théorème de la théorie des groupes.
Énoncé Soient G et G deux groupes, H un sous-groupe de G×G tel que les deux projections canoniques, p : H → G et p : H → G, soient surjectives. Le noyau N de p est un sous-groupe normal de G×{e} (où e désigne l'élément neutre de G) donc s'identifie à un sous-groupe normal de G ; le noyau N de p s'identifie de même à un sous-groupe normal de G. Avec ces identifications,l'image de H dans G/N×G/N est le graphe d'un isomorphisme G/N ≃ G/N.
Démonstration On vérifie d'abord que N, vu comme sous-groupe de G, est bien normal, comme image de ker(p) (normal dans H) par le morphisme surjectif p.
L'image de H dans G/N×G/N est l'ensemble
Par surjectivité de p, tout élément de G/N est la première composante d'au moins un couple de G". Un tel couple est de plus unique car
De même, tout élément de G/N est la seconde composante d'un unique couple de G".
D'après les tests des verticales et des horizontales, G" est donc le graphe d'une bijection de G/N dans G/N.
Par construction, cette bijection est un morphisme de groupes.
Références
, 2002, Articles connexes Produit fibré
Goursat Goursat