Univers fini de Friedmann

Parmi les nombreux modèles cosmologiques de notre Univers, le modèle d’univers fini de Friedmann occupe une place à part parce qu'il est historiquement l'un des premiers à avoir fourni une image physiquement cohérente du cosmos dans le cadre de la nouvelle théorie de la relativité générale d'Einstein.

De plus, sa simplicité intrinsèque et sa richesse font de lui le modèle idéal pour aborder la cosmologie moderne. Cette page est destinée à le présenter en détail. Elle fournira aussi la définition de paramètres cosmologiques importants tels que la constante de Hubble ou la densité critique et servira d'introduction aux problèmes cruciaux de la cosmologie moderne comme le problème de la platitude ou le problème de l'horizon. L'univers fini de Friedmann a une valeur pédagogique précieuse.

Introduction

Le modèle d'univers de Friedmann est le plus simple des modèles cosmologiques satisfaisant aux équations d'Einstein. Conçu en 1922 par Alexander A. Friedmann, ce modèle revêt une importance historique et conceptuelle considérable.

C'est le premier en effet qui a permis à la science d'analyser le cosmos de façon physiquement cohérente en donnant par exemple un sens à la notion de taille, d'âge et de contenu en matière-énergie de l'Univers. En outre, ce modèle prédisait un phénomène dont personne ne pouvait à l'époque (vers 1920) soupçonner l'existence, à savoir l'expansion de l'espace. En observant que toutes les galaxies s'éloignaient de la nôtre, Hubble confirma une dizaine d'années plus tard la réalité de cette expansion et prouva du même coup la justesse de la nouvelle théorie de la relativité générale. En remontant le temps en arrière, cette expansion impliquait qu'à l'origine notre Univers était infiniment condensé, une situation qui conduisait inéluctablement à l'idée du Big Bang. Enfin, également pour la première fois, la science apportait une réponse à la question immémoriale des limites de l'Univers, ce qui constituait un succès extraordinaire de la réflexion humaine. Le modèle homogène fini représente en effet un espace-temps qui, doté de la « courbure » que lui imprime la masse qu'il contient, est dénué de frontières. Il n'est pas contenu dans un espace extérieur : il constitue à lui seul tout temps et tout espace.

On ne peut toutefois pas aisément visualiser cette situation, car notre espace n'a que trois dimensions alors qu'on traite un objet mathématique abstrait : un espace à quatre dimensions.

Bien qu'incompletBasé sur la théorie de la relativité, le modèle de Friedmann utilise les outils de la géométrie différentielle et néglige par ailleurs tous les effets quantiques. On sait que la mécanique quantique est incompatible avec la relativité générale., le modèle d'univers de Big Bang homogène fini a initialisé toutes les découvertes cosmologiques modernes et leur a servi de cadre. D'autre part, même s'il n'est accepté aujourd'hui que par un nombre restreint de cosmologues — mais parmi eux, il y a des noms célèbres comme celui de John Wheeler Edwin F. Taylor & John A. Wheeler : Exploring black holes : introduction to general relativity, Addison Wesley Longman (2000). En page G-11 le modèle d'univers fini en expansion-contraction est qualifié de "trop simple pour être faux" par un cosmologue distingué. — les autres préférant le modèle infini, le modèle fini possède les propriétés principales des univers issus d'un Big Bang, contient tous les points où la théorie rencontre des difficultés et se révèle suffisant à la fois pour comprendre les grandes lignes de la structure de l'Univers et pour poser les problèmes actuels auxquels se trouve confrontée la cosmologie.

La métrique FLRW

thumb|300px|On peut décrire la surface d'une sphère en coordonnées sphériques, impliquant uniquement le rayon et deux paramètres angulaires : et . En généralisant ce concept à quatre dimensions, on peut construire une métrique de l'univers.

Pour rendre justice aux cosmologues qui ont contribué après Friedmann à développer le modèle homogène fini satisfaisant aux équations de la théorie de la gravitation d'Einstein, on nomme métrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker celle qui permet de décrire la géométrie de l'espace-temps de l'univers homogène et isotrope de Friedmann. Dans la théorie d'Einstein, cette géométrie est entièrement décrite par ce que l'on appelle la métrique de l'espace-temps.

Par définition, la métrique donne la « distance »On parle encore d'« intervalle »., entendue au sens de la relativité restreinte, entre deux événements infiniment voisins. Si on repère un événement par ses quatre coordonnées spatio-temporelles , alors la distance relativiste entre deux événements dont les coordonnées diffèrent de , , , est donnée par :

en choisissant d'exprimer les distances en unités de temps, c'est-à-dire en secondes, ce que l'on fait couramment en astronomie. La formule permettant de passer des centimètresPour des raisons historiques, on utilise les unités du système CGS plutôt que celles du Système international d'unités. aux secondes est s (en secondes) = s (en centimètres)/c, où c est la vitesse de la lumière, soit 3×10 cm/s.

Il est facile d'écrire la métrique d'un univers courbe homogène à trois dimensions en généralisant le calcul de la distance entre deux points voisins d'une surface courbe à deux dimensions. En se plaçant en coordonnées cartésiennes , la surface à deux dimensions d'une sphère à trois dimensions de rayon est décrite par l'équation :

On peut représenter cette surface sphérique à deux dimensions, en coordonnées polaires, à l'aide des deux paramètres angulaires, appelés latitude et longitude, notés respectivement et , sous la forme classique :

On a par ailleurs la métrique euclidienne spatiale :

On peut réécrire cette métrique en utilisant la paramétrisation donnée ci-dessus :

De façon similaire, notre propre espace (courbe, homogène, à trois dimensions) peut être considéré comme l'hypersurface à trois dimensions d'une boule à quatre dimensions et de rayon a. Une telle boule est l'ensemble des points solutions dont les coordonnées sont liées par l'équation :

thumb|À la surface (courbe) de la Terre, un jardin « suffisamment petit » peut paraître plat. Ce n'est plus vrai s'il présente des dimensions non négligeables devant le rayon de courbure de la Terre.

On peut donc représenter notre espace à trois dimensions, en coordonnées polaires, à l'aide de trois paramètres angulaires , et sous la forme :

On en déduit la métrique spatiale :

Les paramètres angulaires et servent à fixer la direction du point considéré tandis que l'angle fixe sa distance radiale. Le long d'une ligne de visée donnée (), on voit que la distance radiale élémentaire entre deux points est de la forme , la même que celle donnant sur un cercle ordinaire de rayon la longueur de l'arc d'angle au centre , à savoir .

La métrique relativiste de l'espace-temps homogène et isotrope FLRW s'écrit finalement :

où est une longueur à laquelle on peut donner le nom de « rayon de l'univers ». Toutefois il faut prendre conscience du fait que ce rayon est celui d'une sphère à quatre dimensions et qu'on ne peut donc pas le visualiserIl faut éviter de penser que notre Univers serait une boule sphérique : de même que, à la surface de la Terre, nous pouvons marcher sans rencontrer de limite, il est possible de se déplacer dans l'espace sans rencontrer de frontière.. En revanche le paramètre est une vraie longueur, qui s'exprime donc en secondes (ou plutôt en dizaines de milliards d'années pour notre Univers). La signification physique de cette longueur est de donner l'échelle de distance à partir de laquelle la courbure se manifeste. En effet de même qu'un petit jardin à la surface de la Terre est comme plat (on pourrait désigner cette proposition comme le théorème du jardin), de même une portion d'espace très petite devant le rayon ne manifestera pas de courbure.

Cette forme de la métrique suppose que l'on a accepté avec Einstein la condition de fermeture de l'Univers (l'univers fini est aussi appelé univers fermé), en refusant comme physiquement inconséquente la solution d'un univers infini (dit aussi ouvert)Les difficultés liées au choix des conditions aux limites pour un univers infini disparaissent avec un univers fermé puisque celui-ci, précisément, n'a pas de limites.. Incidemment, dans le cas infini les fonctions trigonométriques sont remplacées par des fonctions hyperboliques, la métrique prenant alors la forme :

Variation du rayon de l'univers avec le temps thumb|En traçant comme fonction de et en prenant pour unité sur les deux axes la quantité on observe une cycloïde. La dynamique de la géométrie de l'univers est déterminée par la loi de variation du rayon de l'univers avec le temps , une loi que l'on déduit des équations d'Einstein sous la forme paramétrique très simple suivante :

La signification physique du paramètre angulaire sera donnée à la section suivante. Précisons tout de suite que la forme de ces équations correspond au cas où la contribution de la matière domine le contenu total en masse-énergie de l'univers, la densité de rayonnement pouvant alors être ignorée. On parle d'un univers « dominé par la matière ».

La courbe exprimant en fonction de s'appelle une cycloïde. C'est la courbe engendrée par le point d'un cercle de rayon roulant sans glisser sur un axe et dont l'angle de rotation augmente progressivement. On voit que le rayon part de zéro, passe par un maximum égal au paramètre pour et revient de façon symétrique à la valeur 0 pour . Ainsi cet univers de Friedmann subit successivement expansion puis contraction. Autrement dit il va du Big Bang au Big Crunch en passant par une phase d'expansion maximale. Après l'anéantissement de l'univers de Friedmann au Big Crunch, il n'y a aucun sens à parler de cycles postérieurs d'expansion-contraction car à l'effondrement ultime le temps lui-même disparaît (dans le modèle d'Einstein le temps est partie constitutive de l'univers et il n'existe donc pas de temps absolu pouvant servir de référence extérieure). C'est à proprement parler la fin des temps.

On voit sur les équations que le paramètre représente le rayon de l'univers dans sa phase d'expansion maximale. Il est remarquable que ce paramètre caractérise entièrement l'univers et en détermine l'évolution. C'est dire son importance. Nous verrons plus loin que mesure aussi (en unités convenables) la masse totale de l'universsi on peut se permettre cette expression, car en toute rigueur le concept de contenu total de masse-énergie d'un univers fermé de Friedmann n'a pas de signification physique. Notons que la durée de vie totale d'un univers de Friedmann de masse , obtenue en prenant dans l'équation donnant , est

Il atteint son expansion maximale à l'âge .

On remarque encore que la vitesse d'expansion d'un univers de Friedmann diminue avec le temps. L'expansion est décélérée (symétriquement la contraction est accélérée). On calcule facilement le terme d'accélération à partir des équations paramétriques sous la forme:

Loi de Hubble

Dire que le rayon d'un univers de Friedmann augmente avec le temps signifie que l'espace lui-même est en expansion. D'après les formules ci-dessus exprimant la position d'une galaxie en coordonnées polaires, la distance en quelque sorte « instantanée » d'une galaxie repérée par sa coordonnée angulaire radiale (laquelle ne change pas au cours du temps : c'est une coordonnée dite comobile) est :

De cette formule on tire immédiatement une loi de Hubble exprimant que la vitesse de récession d'une galaxie est proportionnelle à sa distance. En effet, en définissant cette vitesse de récession à la façon classique comme le rapport de la variation de distance au temps , on obtient de façon triviale :

ce qui s'écrit bien :

avec

Les équations paramétriques exprimant et en fonction de conduisent immédiatement à la formule suivante donnant la valeur de la constante de Hubble dans un univers de Friedmann :