miniatura|225px|As posibles manipulacións do cubo de Rubik forman un grupo. En álxebra abstracta, un grupo é unha estrutura alxébrica que consta dun conxunto cunha operación que combina calquera par dos seus elementos para formar un terceiro elemento. Para que se poida cualificar como un grupo o conxunto e a operación deben satisfacer os axiomas de grupo: ter a propiedade asociativa, elemento neutro e elemento inverso.

A teoría de grupos estuda os grupos en si.

Historia O concepto de grupo xurdiu do estudo das ecuacións polinómicas comezado por Évariste Galois durante a década de 1830. Despois de contribucións desde outros campos como a teoría dos números e a xeometría, a noción xeneralizouse e estableceuse fortemente en torno a 1870.

A definición formal de grupo (G, *) foi formulada por Ferdinand Georg Frobenius en 1887, advertindo que os teoremas que demostraba dependían unicamente dos axiomas propostos e non tiña que acudir ao grupo das permutacións que empregaban os seus antecesores Cauchy, Jordan e Sylow.Introducción a la Teoría de Grupos ( 2009) Zaldívar, Felipe ISBN 978-968-36-3591-4 e outros; páx. 17

Unha teoría especialmente rica foi desenvolvida para grupos finitos, culminada co teorema de clasificación de grupos simples, completado en 1983. Así mesmo, desde mediados da década de 1980 a teoría de grupos xeométricos, que estuda os grupos de xeración finita como obxectos xeométricos, converteuse nunha área particularmente activa na teoría dos grupos.

Definición Un grupo é un conxunto, G, cunha operación binaria «•» que compón dous elementos calquera a e b de G para formar outro elemento denotado como a • b o ab. Para poder cualificar como un grupo a (G, •), deben satisfacer catro propiedades:

Operación interna Para todo a, b de G, o resultado da operación a • b tamén pertence a G.

Asociatividade Para todos os a, b e c de G, cúmprese que (a • b) • c = a • (b • c).

Elemento neutro Existe un elemento e de G, tal que para todos os elementos a de G se cumpre que e • a = a • e = a. O elemento neutro dun grupo G escríbese en ocasións como 1 ou 1G,Weisstein, Eric W. "Identity Element"; extraído de MathWorld. notación herdada da identidade multiplicativa.

Elemento inverso Para todo a de G, existe un elemento b de G tal que a • b = b • a = e.

A orde na que se realiza a operación do grupo pode ser significativa, é dicir, o resultado de operar o elemento a co elemento b non é necesariamente igual que o resultado de b con a; a expresión a • b = b • a pode non ser certa. Os grupos nos que si se cumpre chámanse grupos abelianos, en honor a Niels Henrik Abel.

Notación e terminoloxía Formalmente, un grupo é un par ordenado dun conxunto e unha operación binaria neste conxunto que satisfai os axiomas do grupo. O conxunto chámase conxunto subxacente do grupo, e a operación chámase operación de grupo ou lei de grupo.

Un grupo e o seu conxunto subxacente son, polo tanto, dous obxectos matemáticos diferentes. Para evitar a notación engorrosa, é común abusar da notación ao usar o mesmo símbolo para indicar ambos os dous. Isto reflicte tamén unha forma informal de pensar: que o grupo é o mesmo que o conxunto, salvo que se enriqueceu coa estrutura adicional proporcionada pola operación.

Por exemplo, considere o conxunto dos números reais , que ten as operacións de suma e multiplicación . Formalmente, é un conxunto, é un grupo e é un corpo. Mais é común escribir para indicar calquera destes tres obxectos.

O grupo aditivo do corpo é o grupo cuxo conxunto subxacente é e cuxa operación é a suma. O grupo multiplicativo do corpo é o grupo cuxo conxunto subxacente é o conxunto de números reais distintos de cero e cuxa operación é a multiplicación.

De forma máis xeral, fálase dun grupo aditivo sempre que a operación do grupo se denota como adición; neste caso, a identidade denotase normalmente , e a inversa dun elemento denotase . Do mesmo xeito, fálase dun grupo multiplicativo sempre que a operación do grupo se denota como multiplicación; neste caso, a identidade adoita denotarse , e a inversa dun elemento denotase . Nun grupo multiplicativo, o símbolo da operación adoita omitirse por completo, de xeito que a operación se denota mediante xustaposición, en lugar de .

Exemplos O conxunto dos números enteiros Z coa suma teñen estrutura de grupo abeliano, xa que: Para calquera par de enteiros a e b, a suma a + b tamén é enteiro. Para todos os enteiros a, b e c, (a + b) + c = a + (b + c). Para calquera enteiro a, 0 + a = a + 0 = a. Para cada enteiro a, existe un enteiro b tal que a + b = b + a = 0. O enteiro b denomínase elemento inverso de a e denótase como -a.

As simetrías (rotacións e reflexións) dun cadrado forma un grupo chamado diédrico, que se expresa como D4. O produto define unha estrutura de grupo conmutativo nos números racionais non nulos Q*. As matrices cadradas de n columnas con elementos reais e determinante distinto de cero forman un grupo co produto de matrices. O grupo de movementos no espazo ou grupo de isometría do espazo euclidiano. O grupo de Galileo está formado polas transformacións do espazo e o tempo que conservan os sistemas de referencia inercais.

Grupos cíclicos

right|thumb|upright|As raíces sextas complexas da unidade forman un grupo cíclico. é un elemento xerador, mais non o é, porque as potencias impares de non son unha potencia de .|alt=Un hexágono cuxas esquinas están situadas regularmente nunha circunferencia Un grupo cíclico é un grupo cuxos elementos son potencias dun elemento particular . En notación multiplicativa, os elementos do grupo son

onde significa , significa , etc. está en .}} Tal elemento chámase xerador ou elemento primitivo do grupo. En notación aditiva, o requisito para que un elemento sexa xerador é que cada elemento do grupo se poida escribir como

Nos grupos modulares , o elemento é xerador, polo que estes grupos son cíclicos. De feito, todo elemento é expresábel como unha suma con todos os seus termos . Calquera grupo cíclico con elementos é isomorfo a este grupo. Un segundo exemplo de grupos cíclicos é o grupo das -ésimas raíces complexas da unidade, dado porlos números complexos satisfacendo . Estes números pódense visualizar como os vértices dun -gon regular, como se mostra en azul na imaxe para . A operación de grupo é a multiplicación de números complexos. Na imaxe, multiplicar con correspóndese cunha rotación no sentido horario de 60°. Da teoría de corpos sábese que o grupo é cíclico para primo: por exemplo, se , é un xerador xa que , , e .

Algúns grupos cíclicos teñen un número infinito de elementos. Nestes grupos, para cada elemento distinto de cero, todas as potencias de son distintas; a pesar do nome de "grupo cíclico", as potencias dos elementos non resultan nun ciclo. Un grupo cíclico infinito é isomorfo a , o grupo de números enteiros baixo a suma introducido anteriormente. Como estes dous modelos son ambos os dous abelianos, tamén o son todos os grupos cíclicos.

O estudo dos grupos abelianos finitamente xerados está bastante estudado, incluíndo o teorema fundamental dos grupos abelianos finitamente xerados; e reflectindo este estado de cousas, moitas nocións relacionadas co grupo, como centro e conmutador, describen ata que punto un determinado grupo non é abeliano.

Aritmética modular

thumb|dereita|As horas dun reloxo forman un grupo que usa un módulo con suma 12. Aquí, .|alt=O punteiro do reloxo apunta ás 9 en punto; 4 horas despois é a 1 en punto. A aritmética modular módulo define dous elementos calquera e que difiren nun múltiplo de para seren equivalentes, denotado como . Todo número enteiro é equivalente a un dos enteiros que van de a , e as operacións da aritmética modular modifican a aritmética normal substituíndo o resultado de calquera operación polo seu representante equivalente. A suma modular, definida deste xeito para os enteiros de a , forma un grupo, denotado como ou , con como elemento identidade e como elemento inverso de .

Un exemplo familiar é a suma de horas dun reloxo, onde se escolle 12 en lugar de 0 como representante da identidade. Se a agulla das horas está en e avanza horas, rematará en , como se mostra na ilustración. Isto exprésase dicindo que é congruente con "módulo " ou, en símbolos,

Para calquera número primo , tamén existe o grupo multiplicativo de enteiros módulo . Os seus elementos pódense representar de a . A operación de grupo, multiplicación módulo , substitúe o produto habitual polo seu representante, o resto da división por . Por exemplo, para , os catro elementos do grupo pódense representar por . Neste grupo, , porque o produto habitual é equivalente a : cando se divide por dá un resto de . A primalidade de garante que o produto habitual de dous representantes non sexa divisíbel por e, polo tanto, que o produto modular sexa distinto de cero. O elemento identidade está representado por , e a asociatividade dedúcese da propiedade correspondente dos números enteiros. Finalmente, o axioma do elemento inverso require que dado un enteiro non divisíbele , exista un enteiro tal que

No caso anterior, a inversa do elemento representado por é el mesmo, e a inversa do elemento representado por represéntase por , pois . Polo tanto, cúmprense todos os axiomas de grupo. Estes grupos, denotados , son fundamentais para a criptografía de clave pública.

Grupo linear xeral

Os grupos de matrices consisten en matrices xunto coa multiplicación de matrices. O grupo linear xeral consta de todas as matrices invertíbeis con coeficientes reais. Os seus subgrupos denomínanse grupos de matrices ou grupos lineares. O exemplo de grupo diédrico mencionado anteriormente pódese ver como un grupo matricial (moi pequeno). Outro grupo matricial importante é o grupo ortogonal especial . Describe todas as rotacións posíbeis en dimensións. As matrices de rotación deste grupo utilízanse extensamente nos gráficos por ordenador.

Grupos de Galois

Os Grupos de Galois foron desenvolvidos para axudar a resolver ecuacións polinómicas capturando as súas características de simetría. Por exemplo, as solucións da ecuación cadrática están dadas por

Coñécense fórmulas análogas para a cúbica e a ecuación cuártica, mais "non" existen en xeral para as de grao 5 e superior. Na fórmula cadrática, o cambio de signo (permutando as dúas solucións resultantes) pódese ver como unha operación de grupo (moi sinxela). Os grupos de Galois análogos actúan sobre as solucións de ecuacións polinómicas de grao superior e están intimamente relacionados coa existencia de fórmulas para a súa solución. As propiedades abstractas destes grupos (en particular a súa solubilidade) dan un criterio para a capacidade de expresar as solucións destes polinomios usando unicamente a suma, a multiplicación e raíces.

A teoría de Galois moderna xeneraliza o tipo anterior de grupos de Galois mudando á teoría de corpos e considerando as extensións de corpo formadas como o corpo de descomposición dun polinomio. Esta teoría estabelece (a través do teorema fundamental da teoría de Galois) unha relación precisa entre corpos e grupos, subliñando unha vez máis a ubicuidade dos grupos en matemáticas.

Conceptos básicos As seguintes seccións usan símbolos matemáticos como para indicar un conxunto que contén elementos , e ou para indicar que é un elemento de . A notación significa que é unha función que asocia a cada elemento de un elemento de .

Cando se estudan conxuntos, utilízanse conceptos como subconxunto, función e conxunto cociente por unha relación de equivalencia. Cando se estudan grupos, utilízanse no seu lugar subgrupos, homomorfismos e grupos cociente. Estes son os análogos que teñen en conta a estrutura do grupo.

Homomorfismos de grupo

Os homomorfismos de grupos son funcións que respectan a estrutura do grupo; poden utilizarse para relacionar dous grupos. Un homomorfismo dun grupo cara a un grupo é unha función tal que para todos os elementos e en .