miniatura|280px|Gráfica da sucesión de Fibonacci ata En matemáticas, a sucesión de Fibonacci é a sucesión de números naturais:
right|miniatura|280px|A espiral de Fibonacci: unha aproximación da espiral áurea xerada debuxando arcos circulares conectando as esquinas opostas dos cadrados axustados aos valores da sucesión; acaroando sucesivamente cadrados de lado 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 e 34. A sucesión comeza cos números 0 e 1,A lenda que motivou esta sucesión "comezou cunha parella de coellos". Vorobiov: Números de Fibonacci e a partir destes a relación de recorrencia que a define é que «cada termo é a suma dos dous anteriores».
Aos elementos desta sucesión chámaselles números de Fibonacci. Esta sucesión foi descrita en Europa por Leonardo de Pisa, matemático italiano do século XIII tamén coñecido como Fibonacci. Ten numerosas aplicacións en ciencias da computación, matemáticas e teoría de xogos. Tamén aparece en configuracións biolóxicas, como por exemplo nas ramas das árbores, na disposición das follas no talo, nas flores das alcachofas e xirasois, nas inflorescencias do brócoli romanesco e na configuración das piñas das coníferas.
Historia Moito antes de ser coñecida en occidente, a sucesión de Fibonacci xa estaba descrita nas matemáticas da India, en conexión coa prosodia sánscrita.
Susantha Goonatilake fai notar que o desenvolvemento da secuencia de Fibonacci "atribúese en parte a Pingala (ano 200), posteriormente asociado con Virahanka (cara ao ano 700), Gopāla (cara a 1135), e Hemachandra (cara a 1150)". Parmanand Singh cita a Pingala (cara a 450) como precursor no descubrimento da secuencia.
A sucesión foi descrita e dada a coñecer en occidente por Fibonacci como a solución a un problema da cría de coellos: «Certo home tiña unha parella de coellos nun lugar pechado e desexaba saber cantos se poderían reproducir nun ano a partir da parella inicial, tendo en conta que de forma natural teñen unha parella nun mes, e que a partir do segundo comezan a reproducirse».Laurence Sigler, Fibonacci's Liber Abaci, página 404
Número de Mes Explicación da xenealoxía Parellas de coellos Comezo do mes 1 Nace unha parella de coellos (parella A). 1 parella en total. Fin do mes 1 A parella A ten un mes de idade. Crúzase a parella A. 1+0=1 parella en total. Fin do mes 2 A parella A dá a luz á parella B. Vólvese cruzar a parella A. 1+1=2 parellas en total. Fin do mes 3 A parella A dá a luz á parella C. A parella B cumpre 1 mes. Crúzanse as parellas A e B. 2+1=3 parellas en total. Fin do mes 4 As parellas A e B dan a luz a D e E. A parella C cumpre 1 mes. Crúzanse as parellas A, B e C. 3+2=5 parellas en total. Fin do mes 5 A, B e C dan a luz a F, G e H. D e E cumpren un mes. Crúzanse A, B, C, D e E. 5+3=8 parellas en total. Fin do mes 6 A, B, C, D e E dan a luz a I, J, K, L e M. F, G e H cumpren un mes. Crúzanse A, B, C, D, E, F, G e H. 8+5=13 parellas en total.... ... ... ... ... Nota: ao contar a cantidade de letras distintas en cada mes, pódese saber a cantidade de parellas totais que hai ata ese mes. miniatura|220px|Páxina do Liber Abaci de Fibonacci da Biblioteca Nacional Central de Florencia que mostra nun cadro á dereita a sucesión de Fibonacci coas posicións da secuencia etiquetadas en números romanos e en latín; e o valor dos números en cifras arábigas. Desta maneira Fibonacci presentou a sucesión no seu libro Liber Abaci, publicado en 1202. Moitas propiedades da sucesión de Fibonacci foron descubertas por Édouard Lucas, responsable de nomeala como se coñece na actualidade.Handbook of discrete and combinatorial mathematics, sección 3.1.2
Tamén Kepler describiu os números de Fibonacci, e o matemático escocés Robert Simson descubriu en 1753 que a relación entre dous números de Fibonacci sucesivos se achega á relación áurea fi () cando n tende a infinito; é máis, o cociente de dous termos sucesivos de toda sucesión recorrente de orde dous tende ao mesmo límite. Esta sucesión tivo popularidade no século XX especialmente no ámbito musical, no que compositores con tanta sona como Béla Bartók, Olivier Messiaen, a banda Tool e Delia Derbyshire a utilizaron para a creación de acordes e de novas estruturas de frases musicais.
Definición recursiva
Os números de Fibonacci quedan definidos pola ecuación:
partindo de dous primeiros valores predeterminados:
obtéñense os seguintes números:
para
Esta maneira de definir, de feito considerada algorítmica, é usual en Matemática discreta.
É importante definir para que se poida cumprir a importante propiedade de que:
divide a , para calquera .
Representacións alternativas Para analizar a sucesión de Fibonacci (e, en xeral, calquera sucesión) é conveniente obter outras maneiras de representala matematicamente.
Función xeradora Unha función xeradora para unha sucesión calquera é a función , é dicir, unha serie formal de potencias onde cada coeficiente é un elemento da sucesión. Os números de Fibonacci teñen a función xeradora
Cando esta función se expande en potencias de , os coeficientes resultan ser a sucesión de Fibonacci:
Fórmula explícita A definición da sucesión de Fibonacci é recorrente; é dicir que se necesitan calcular varios termos anteriores para poder calcular un termo específico. Pódese obter unha fórmula explícita da sucesión de Fibonacci (que non require calcular termos anteriores) notando que as ecuacións , e definen a relación de recorrencia
coas condicións iniciais e
O polinomio característico desta relación de recorrencia é , e as súas raíces son
Desta maneira, a fórmula explícita da sucesión de Fibonacci terá a forma .
Se se teñen en conta as condicións iniciais, entón as constantes e satisfán a ecuación anterior cando e , é dicir que satisfán o sistema de ecuacións
Ao resolver este sistema de ecuacións obtense
Polo tanto, cada número da sucesión de Fibonacci pode ser expresado como
Para simplificar aínda máis é necesario considerar o número áureo
de maneira que a ecuación se reduce a
Esta fórmula atribúese ao matemático francés Édouard Lucas, e é facilmente demostrable por indución matemática. A pesar de que a sucesión de Fibonacci consta unicamente de números naturais, a súa fórmula explícita inclúe o número irracional (fi). De feito, a relación con este número é estreita. Este tipo de fórmulas pechadas para obter o elemento das recurrencias son coñecidas como fórmulas de Binet, aínda que non foi o seu descubridor.
Forma matricial Outra maneira de obter a sucesión de Fibonacci é considerando o sistema de ecuacións lineares
Este sistema pode representarse mediante a súa notación matricial como
Coñecendo a e , ao aplicar a fórmula anterior veces obtense unha vez aquí, simplemente hai que diagonalizar a matriz, facilitando así a operación de potenciación, e obtendo polo tanto a fórmula explícita para a sucesión que está especificada arriba. Máis aínda
Estas igualdades poden probarse mediante indución matemática.
Propiedades da sucesión miniatura|Ao construír bloques cunha lonxitude dos lados que sexan números de Fibonacci obtense un debuxo semellante ao rectángulo áureo. Os números de Fibonacci aparecen en numerosas aplicacións de diferentes áreas. Por exemplo, en modelos da crianza de coellos o de plantas, ao contar o número de cadeas de bits de lonxitude que non teñen ceros consecutivos e nunha vasta cantidade de contextos diferentes. De feito, existe unha publicación especializada chamada Fibonacci QuartelyFibonacci Quartely dedicada ao estudo da sucesión de Fibonacci e temas afíns. Trátase dun tributo ao amplamente que aparecen os números de Fibonacci nas matemáticas e nas súas aplicacións noutras áreas. Algunhas das propiedades desta sucesión son as seguintes: A razón entre un termo e o inmediatamente anterior varía continuamente, pero estabilízase no número áureo. É dicir:
Este límite non é privativo da sucesión de Fibonacci. Calquera sucesión recorrente de orde 2, como a sucesión 3, 4, 7, 11, 18..., tende ao mesmo límite. Isto foi demostrado por Barr e Schooling nunha carta publicada na revista londiniense "The Field" do 14 de decembro de 1912. Os cocientes son oscilantes; é dicir, que un cociente é menor ao límite e o seguinte é maior. Os cocientes poden ordenarse en dúas sucesións que se aproximan asintoticamente por exceso e por defecto ao valor límite. Calquera número natural pode escribirse mediante a suma dun número limitado de termos da sucesión de Fibonacci, cada un deles distinto aos demais. Por exemplo, , . Tan só un termo de cada tres é par, un de cada catro é múltiplo de 3, un de cada cinco é múltiplo de 5 etc. Isto pode xeneralizarse, de forma que a sucesión de Fibonacci é periódica nas congruencias módulo , para calquera . A sucesión pode expresarse mediante outra fórmula explícita chamada forma de Binet (de Jacques Binet). Se e , entón e Cada número de Fibonacci é a media do termo que se atopa dúas posicións antes e o termo que se atopa unha posición despois. É dicir
O anterior tamén pode expresarse así: calcular o seguinte número a un dado é 2 veces este número menos o número dúas posicións máis atrás.
A suma dos primeiros números é igual ao número que ocupa a posición menos un. É dicir
Outras identidades interesantes inclúen as seguintes:
Se , entón para calquera (Identidade de Cassini)
miniatura|Phi forma parte dunha expresión da sucesión de Fibonacci.
(con φ = número áureo) ou despexando f(n+1) e aplicando 1/φ = φ-1:
O máximo común divisor de dous números de Fibonacci é outro número de Fibonacci. Máis especificamente
Isto significa que e son primos relativos e que divide exactamente a Os números de Fibonacci aparecen ao sumar as diagonais do triángulo de Pascal. É dicir que para calquera , miniatura|right|360px|Os números de Fibonacci son a suma das diagonais (marcadas en vermello) do triángulo de Pascal.
e máis aínda
Se , tal que é un número primo, entón tamén é un número primo, cunha única excepción, ; 3 é un número primo, pero 4 non o é. A suma infinita dos termos da sucesión é exactamente . A suma de dez números Fibonacci consecutivos é sempre 11 veces superior ao sétimo número da serie. O último díxito de cada número repítese periodicamente cada 60 números. Os dous últimos, cada 300; a partir de aí, repítense cada números.
Xeneralizacións Expansión a índices negativos miniatura|Gráfica da sucesión de Fibonacci estendida ao campo dos números reais. O concepto fundamental da sucesión de Fibonacci é que cada elemento é a suma dos dous anteriores. Neste sentido a sucesión pode expandirse ao conxunto dos números enteiros como de maneira que a suma de calquera dos números consecutivos é o inmediato seguinte. Para poder definir os índices negativos da sucesión, despéxase da ecuación de onde se obten
Desta maneira, se é impar e se é par.
Expansión ao campo de números reais A sucesión pódese expandir ao campo dos números reais tomando a parte real da fórmula explícita (ecuación ) cando é calquera número real. A función resultante
ten as mesmas características que a sucesión de Fibonacci:
para calquera número real
Números Gibonacci Unha sucesión de Fibonacci xeneralizada (ou números Gibonacci), é unha sucesión onde
É dicir, cada elemento dunha sucesión de Fibonacci xeneralizada é a suma dos dous anteriores, pero non necesariamente comeza en 0 e 1.
Unha característica notable é que, se é unha sucesión de Fibonacci xeneralizada, entón
Por exemplo, a ecuación pode xeneralizarse a
Isto significa que calquera cálculo sobre unha sucesión de Fibonacci xeneralizada se pode efectuar usando números de Fibonacci.
Potencias de Unha sucesión de Fibonacci xeneralizada moi importante, é a formada polas potencias do número áureo. .
A importancia desta sucesión reside no feito de que se pode expandir directamente ao conxunto dos números reais. . ...e ao dos complexos. .
Sucesión de Lucas miniatura|Gráfica da sucesión de Lucas estendida ao campo dos números reais.