Na teoría dos números, a densidade natural, tamén coñecida como densidade asintótica ou densidade aritmética, é un método para medir o "grande" que é un subconxunto do conxunto de números naturais . Depende principalmente da probabilidade de atopar membros do subconxunto desexado ao pasar polo intervalo a medida que aumenta.
Intuitivamente, vemos que hai máis números enteiros positivos que cadrados perfectos. No entanto, o conxunto de enteiros positivos non é de feito maior que o conxunto de cadrados perfectos: ambos os dous conxuntos son infinitos e contables e, polo tanto, pódense poñer en correspondencia un a un. Con todo, se un pasa polos números naturais, os cadrados fanse cada vez máis escasos.
Se seleccionamos un número enteiro aleatoriamente do intervalo , entón a probabilidade de que pertenza a é a relación entre o número de elementos de en e o número total de elementos en . Se esta probabilidade tende a algún límite mentres tende ao infinito, entón este límite denomínase densidade asintótica de . Esta noción pódese entender como unha especie de probabilidade de escoller un número do conxunto . De feito, a densidade asintótica (así como outros tipos de densidades) estúdase na teoría probabilística dos números .
Definición Un subconxunto de enteiros positivos ten densidade natural se a proporción de elementos de entre todos os números naturais de 1 a converxe a mentres tende ao infinito.
Máis explicitamente, se se define para calquera número natural a función de contaxe como o número de elementos de menor ou igual a , entón a densidade natural de sendo significa exactamente que Tenenbaum (1995) p.261 as .Da definición despréndese que se un conxunto ten densidade natural entón .
Densidade asintótica superior e inferior Define a densidade asintótica superior de (tamén chamada "densidade superior") porDo mesmo xeito, define a densidade asintótica máis baixa de (tamén chamada "densidade inferior") porPódese dicir que ten densidade asintótica se , nese caso é igual a este valor común se existe este límite. Nathanson (2000) pp.256–257
Propiedades e exemplos
Para calquera conxunto finito F de enteiros positivos, d (F) = 0.
Se d (A) existe para algún conxunto A e A c denota o seu conxunto complemento con respecto a , entón d (A c) = 1 − d ( A ). Corolario: Se é finito (incluíndo o caso ),
Se e existen, daquela
Se é o conxunto de todos os cadrados, entón d (A) = 0.
Se é o conxunto de todos os números pares, entón d (A) = 0,5. Do mesmo xeito, para calquera progresión aritmética obtemos
Para o conxunto P de todos os primos obtemos do teorema dos números primos que d (P) = 0.
O conxunto de todos os enteiros libres de cadrados ten densidade De forma máis xeral, o conxunto de todos os números libres dunha potencia n para calquera n natural, ten densidade onde é a función zeta de Riemann .
O conxunto de números abundantes ten unha densidade distinta de cero. Marc Deléglise demostrou en 1998 que a densidade do conxunto de números abundantes está entre 0,2474 e 0,2480.
O conxunto
de números cuxa expansión binaria contén un número impar de díxitos é un exemplo dun conxunto que non ten unha densidade asintótica, xa que a densidade superior deste conxunto é
mentres que a súa menor densidade é
Considera unha secuencia equidistribuída en e define unha familia monótona de conxuntos:
Daquela, por definición, para todos os .
Se S é un conxunto de densidades superiores positivas, entón o teorema de Szemerédi afirma que S contén progresións aritméticas finitas arbitrariamente grandes, e o teorema de Furstenberg–Sárközy afirma que algúns dous membros de S difiren por un número cadrado.
Notas
Véxase tamén Bibliografía
Outros artigos Densidade de Dirichlet Conxectura de Erdős sobre progresións aritméticas
Categoría:Teoría de números