Na análise complexa, unha rama das matemáticas, unha fracción continua xeneralizada é unha xeneralización das fraccións continuas regulares, na que os numeradores parciais e os denominadores parciais poden asumir valores complexos arbitrarios.
Unha fracción continua xeneralizada é unha expresión da forma
onde () son os numeradores parciais, os os denominadores parciais e o termo principal chámase parte enteira da fracción continua.
Os sucesivos converxentes da fracción continua fórmanse aplicando as fórmulas de recorrencia :
con valores iniciais
onde é o numerador e o denominador, chamados continuantes, do -ésimo converxente.
Historia ideou unha técnica para aproximar as raíces das ecuacións cadráticas con fraccións continuas a mediados do século XVI. Só 24 anos despois, en 1613, Pietro Cataldi introduciu a primeira notación formal para a fracción continua xeneralizada. Cataldi representou unha fracción continua como
cos puntos que indican onde vai a seguinte fracción e cada representando un signo máis moderno.
A finais do século XVII John Wallis introduciu o termo "fracción continua" na literatura matemática. Recentemente entraran en escena novas técnicas de análise matemática (o cálculo de Newton e Leibniz), e unha xeración de contemporáneos de Wallis puxeron en uso a novo termo.
En 1748 Euler publicou un teorema que mostra que un tipo particular de fracción continua é equivalente a unha determinada serie infinita moi xeral. A fórmula da fracción continua de Euler aínda é a base de moitas probas modernas de converxencia de fraccións continuas.
En 1761, Johann Heinrich Lambert deu a primeira proba de que π é irracional, usando a seguinte fracción continua para :
As fraccións continuas tamén se poden aplicar a problemas de teoría de números, e son especialmente útiles no estudo das ecuacións diofántianas. A finais do século XVIII Lagrange utilizou as fraccións continuas para construír a solución xeral da ecuación de Pell, respondendo así a unha pregunta que fascinaba aos matemáticos durante máis de mil anos. Brahmagupta (598–670) was the first mathematician to make a systematic study of Pell's equation. O descubrimento de Lagrange implica que a expansión de fracción continua regular da raíz cadrada de todo número enteiro non cadrado é periódica e que, se o período é de lonxitude , contén unha cadea palindrómica de lonxitude .
En 1813 Gauss derivou a partir de funcións hiperxeométricas de valores complexos o que agora se chama fraccións continuas de Gauss. Pódense usar para expresar moitas funcións elementais e algunhas funcións máis avanzadas (como as funcións de Bessel), como fraccións continuas que converxen rapidamente en case todas partes do plano complexo.
Notación A expresión de fracción continua longa que aparece na introdución é fácil de interpretar para un lector non familiar coas fraccións continuas. Máis hai notacións máis curtas:
Carl Friedrich Gauss elaborou esta notación:
Aquí a "" significa Kettenbruch, a palabra alemá para "fracción continua".
Algunhas consideracións elementais
Numeradores e denominadores parciais Se un dos numeradores parciais é cero, a fracción continua infinita
é realmente só unha fracción continua finita con termos fraccionarios e, polo tanto, unha función racional de a e a .
Fórmula do determinante Cando o -ésimo converxente dunha fracción continua
exprésase como unha fracción simple podemos usar a fórmula do determinantepara relacionar os numeradores e denominadores de converxentes sucesivos e entre si. A proba disto pódese ver facilmente por indución.
Transformación de equivalencia Se é calquera sucesión infinita de números complexos distintos de cero podemos demostrar, por indución, que
A transformación de equivalencia é perfectamente xeral, pero dous casos particulares merecen unha mención especial. En primeiro lugar, se ningún dos é cero pódese escoller unha secuencia para que cada numerador parcial sexa 1:
onde , , , e en xeral .
En segundo lugar, se ningún dos denominadores parciais é cero, podemos usar un procedemento similar para escoller outra secuencia para que cada denominador parcial sexa un 1:
onde e tamén .
Estes dous casos especiais da transformación de equivalencia son de enorme utilidade cando se analiza o problema xeral de converxencia.
Nocións de converxencia A fracción continua
converxe se a secuencia de converxentes } tende a un límite finito. Esta noción de converxencia é moi natural. É útil introducir a noción de converxencia xeral dunha fracción continua. En liñas xerais, isto consiste en substituír a parte da fracción posterior a , por , en lugar de por 0, para calcular os converxentes. Os converxentes así obtidos chámanse converxentes modificados. Dicimos que a fracción continua converxe xeralmente se existe unha secuencia tal que a secuencia de converxentes modificados converxe para todos os suficientemente distinto de . A secuencia chámase entón unha secuencia excepcional para a fracción continua. Vexa o capítulo 2 de para unha definición rigorosa.
Tamén existe unha noción de converxencia absoluta para fraccións continuas, baseada na noción de converxencia absoluta dunha serie: dise que unha fracción continua é absolutamente converxente cando a serie
onde son os converxentes da fracción continua, converxe absolutamente. O teorema de Śleszyński–Pringsheim proporciona unha condición suficiente para a converxencia absoluta.
Finalmente, unha fracción continua dunha ou máis variables complexas é uniformemente converxente nunha veciñanza aberta cando os seus converxentes converxen uniformemente en ; é dicir, cando para cada existe tal que para todo , para todos ,
Condicións para a irracionalidade Se e son enteiros positivos con para todos os suficientemente grandes, daquela
converxe a un límite irracional.
Fórmulas fundamentais de recorrencia Os numeradores e denominadores parciais dos converxentes sucesivos da fracción están relacionados mediante as fórmulas fundamentais de recorrencia :
Os converxentes sucesivos da fracción continua son logo
Estas relacións de recorrencia débense a John Wallis (1616–1703) e Leonhard Euler (1707–1783). Estas relacións de recorrencia son simplemente unha notación diferente para as relacións obtidas por Pietro Antonio Cataldi (1548-1626).
Fórmula de fracción continua de Euler Euler demostrou a seguinte identidade:
Disto pódense derivar moitos outros resultados, como
e
Exemplos
Funcións e números transcendentais Aquí temos dúas fraccións continuas que se poden construír mediante a identidade de Euler.
Aquí temos fraccións continuas xeneralizadas adicionais:
Esta último baséase nun algoritmo derivado por Aleksei Nikolaevich Khovansky na década de 1970. An alternative way to calculate log(x)
Exemplo: o logaritmo neperiano de 2 (=
Fórmula de Leibniz para :
converxe demasiado lentamente, requirindo aproximadamente termos para conseguir cifras decimais correctas. A serie derivada por Nilakantha Somayaji:
aínda converxe bastante lentamente. Por outra banda:
converxe linearmente a , engadindo polo menos tres díxitos de precisión por catro termos.
Raíces dos números positivos A raíz -ésima de calquera número positivo pódese expresar reformulando , dando como resultado
que se pode simplificar, dobrando cada par de fraccións nunha fracción, a
A raíz cadrada de é un caso especial con e :
que se pode simplificar observando que :
A raíz cadrada tamén se pode expresar mediante unha fracción continua periódica, pero a forma anterior converxe máis rapidamente cos apropiados e .
Exemplo 1 A raíz cúbica de dous (2 1/3 ou 3 ≈ 1,259921...) pódese calcular de dúas formas:
En primeiro lugar, a "notación estándar" de , e :
En segundo lugar, unha converxencia rápida con , e :
Notas
Véxase tamén Outros artigos Fracción continua Fracción continua de Gauss Composicións infinitas de funcións analíticas Algoritmo de Lentz
Bibliografía
(Covers both analytic theory and history.)
(Covers primarily analytic theory and some arithmetic theory.)
(This reprint of the D. Van Nostrand edition of 1948 covers both history and analytic theory.)
Ligazóns externas
As vinte primeirs páxinas de Steven R. Finch, Mathematical Constants, Cambridge University Press, 2003, , contén fraccións continuas xeneralizadas para e a razón áurea. "Exact" continued fraction for Pi}}
Categoría:Teoría de números