En matemáticas, unha relación binaria nun conxunto é reflexiva se relaciona cada elemento de consigo mesmo.
Un exemplo de relación reflexiva é a relación "é igual a" no conxunto de números reais, xa que cada número real é igual a si mesmo. Xunto coa simetría e a transitividade, a reflexividade é unha das tres propiedades que definen as relacións de equivalencia.
Definición
Sexa unha relación binaria nun conxunto que por definición é só un subconxunto de Para calquera a notación significa que mentres "non " significa que
A relación chámase reflexiva se para todo .
De forma equivalente, se denota a relación de identidade en , a relación é reflexiva se .
O peche reflexivo de é a unión que se pode definir equivalentemente como a menor (con respecto a ) relación reflexiva en que é un superconxunto de Unha relación é reflexiva se e só se é igual ao seu peche reflexivo.
A redución reflexiva ou kernel irreflexivo de é a relación máis pequena (con respecto a ) en que ten o mesmo peche reflexivo que É igual a
A redución reflexiva de pode, en certo sentido, ser vista como unha construción que é o "oposto" ao peche reflexivo de Por exemplo, o peche reflexivo da desigualdade estrita canónica nos reais é a desigualdade non estrita habitual mentres que a redución reflexiva de é
Definicións relacionadas Hai varias definicións relacionadas coa propiedade reflexiva. A relación chámase: , se non relaciona ningún elemento consigo mesmo; é dicir, se non vale para ningún Unha relación é irreflexiva se e só se é o seu complemento en é reflexivo. Unha relación asimétrica é necesariamente irreflexiva. Unha relación transitiva e irreflexiva é necesariamente asimétrica. se sempre que son tal que entón necesariamente A Enciclopedia Británica chama a esta propiedade quase-reflexividade. se sempre que son tal que entón necesariamente se cada elemento que forma parte dalgunha relación está relacionado consigo mesmo. Explicitamente, isto significa que sempre que sexan tal que entón necesariamente e De forma equivalente, unha relación binaria é case-reflexiva se e só se é case reflexiva pola esquerda e quase-reflexiva pola dereita. Unha relación é case- reflexiva se e só se o seu peche simétrico é pola esquerda (ou pola dereita) case reflexivo. antisimétrica se sempre que son tal que entón necesariamente se sempre que son tal que entón necesariamente Unha relación é coreflexiva se e só se o seu peche simétrico é simétrica.
Unha relación reflexiva nun conxunto non baleiro non pode ser irreflexiva, nin asimétrica ( chámase se non implica ), nin antitransitiva ( é se implica non ).
Representación
Sexa unha relación reflexiva ou antirreflexiva aplicada sobre un conxunto A, entón R ten unha representación particular para cada forma de describir unha relación binaria.
Notación Relación reflexiva Relación antirreflexiva Como pares ordenados Como matriz de adxacencia A diagonal principal da matriz conterá só 1's, é dicir, A diagonal principal da matriz conterá só 0's, é dicir, Como grafo O grafo conterá bucles en todos os seus nodos. O grafo non conterá bucles en ningún dos seus nodos. Exemplos Exemplos de relacións reflexivas inclúen:
"é igual a" (igualdade) "é un subconxunto de" "divide a" (divisibilidade) "é maior ou igual a" "é menor ou igual a"
Exemplos de relacións irreflexivas inclúen:
"non é igual a" "é coprimo a" nos enteiros maiores que 1 "é un subconxunto propio de" "é maior que" "é menor que"
Notas
Véxase tamén
Bibliografía
(Online corrected edition, Feb 2010)
Outros artigos Relación simétrica. Relación transitiva. Relación de equivalencia. Ligazóns externas
Categoría:Teoría da orde Categoría:Teoría de conxuntos Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas