En matemáticas, o lema de Hensel, tamén coñecido como lema de levantamento de Hensel, chamado así en honor de Kurt Hensel, é un resultado da aritmética modular, que indica que se un polinomio univariado ten unha raíz simple módulo un número primo , entón esta raíz pode levantarse a unha única raíz módulo calquera potencia de maior. De forma máis xeral, se un polinomio factoriza módulo en dous polinomios coprimos, esta factorización pódese levantar a unha factorización módulo calquera potencia de superior (o caso das raíces corresponde ao caso de grao para un dos factores).
Ao pasar ao "límite" (de feito este é un límite inverso) cando a potencia de tende ao infinito, dedúcese que unha raíz ou unha factorización módulo pode levantarse a unha raíz ou unha factorización sobre os enteiros -ádicos.
Estes resultados foron amplamente xeneralizados, baixo o mesmo nome, ao caso de polinomios sobre un anel conmutativo arbitrario, onde é substituído por un ideal, e "polinomios coprimos" significa "polinomios que xeran un ideal que contén o ".
O lema de Hensel é fundamental na análise -ádica, unha rama da teoría analítica de números.
A demostración do lema de Hensel é construtiva, e leva a un algoritmo eficiente para o levantamento de Hensel, que é fundamental para factorizar polinomios, e dá o algoritmo máis eficiente coñecido para a álxebra linear exacta sobre os números racionais.
Redución e levantamento modulares O lema orixinal de Hensel refírese á relación entre a factorización polinómica sobre os enteiros e sobre os enteiros módulo un número primo e as súas potencias. Pódese estender directamente ao caso en que os números enteiros sexan substituídos por calquera anel conmutativo e substitúese por calquera ideal máximal (de feito, os ideais maximais de teñen a forma onde é un número primo).
Facer isto de xeito preciso require unha xeneralización da aritmética modular habitual, polo que é útil definir con precisión a terminoloxía que se usa habitualmente neste contexto.
O proceso de levantamento é o inverso da redución. É dicir, dados os obxectos que dependen dos elementos de o proceso de levantamento substitúe estes elementos por elementos de (ou de para algún ) que mapea con eles de forma que manteña as propiedades dos obxectos.
Sexa un anel conmutativo e un ideal de . A redución módulo refírese á substitución de cada elemento de pola súa imaxe baixo o mapa canónico Por exemplo, se é un polinomio con coeficientes en , a súa redución módulo , denotada como é o polinomio en obtido substituíndo os coeficientes de pola súa imaxe en Dous polinomios e en son congruentes módulo , denotado como se teñen os mesmos coeficientes módulo , é dicir se Se unha factorización de módulo consiste en dous (ou máis) polinomios en tal que
Por exemplo, dado un polinomio e un módulo de factorización expresado como levantar esta factorización módulo consiste en procurar polinomios tal que e O lema de Hensel afirma que tal levantamento sempre é posíbel en condicións suaves; ver sección seguinte. Enunciado Orixinalmente, o lema de Hensel foi enunciado (e demostrado) para levantar unha factorización módulo un número primo dun polinomio sobre os enteiros a unha factorización módulo calquera potencia de e a unha factorización sobre os enteiros p-ádicos. Isto pódese xeneralizar facilmente, coa mesma proba, no caso de que os números enteiros sexan substituídos por calquera anel conmutativo, o número primo substitúese por un ideal máximal e os enteiros -ádicos substitúense polo completamento con respecto ao ideal maximal. É esta xeneralización, que tamén é moi utilizada, a que aquí se presenta.
Sexa un ideal máximal dun anel conmutativo , e sexa
un polinomio en cun coeficiente principal non en
Posto que é un ideal maximal, o anel cociente é un corpo, e é un dominio de ideais principais (PID) e, en particular, un dominio de factorización única, o que significa que todo polinomio distinto de cero en pódese factorizar dun xeito único como o produto dun elemento distinto de cero de e polinomios irredutíbeis que son mónicos (é dicir, os seus coeficientes principais son 1).
O lema de Hensel afirma que toda factorización de módulo en polinomios coprimos pódese levantar dun xeito único a un módulo de factorización para todo .
Máis precisamente, coas hipóteses anteriores, se onde e son mónicos e coprimos módulo entón, para cada número enteiro positivo hai polinomios mónicos e tal que
e e son únicos (con estas propiedades) módulo
Levantar raíces simples Un caso especial importante é cando Neste caso, a hipótese da coprimalidade significa que é unha raíz simple de Isto dá o seguinte caso especial do lema de Hensel.
Coas hipóteses e notacións anteriores, se é unha raíz simple de entón pódese levantar dun xeito único a unha raíz simple de para cada número enteiro positivo . Explicitamente, para cada enteiro positivo , hai un único tal que e é unha raíz simple de
Levantar ata o completamento ádico O feito de que se poida levantar a para todo número enteiro positivo suxire "pasar ao límite" cando tende ao infinito. Esta foi unha das principais motivacións para introducir os enteiros -ádicos.
Dado un ideal máximal dun anel conmutativo , as potencias de forman unha base de veciñanzas abertas para unha topoloxía en , que se chama topoloxía m-ádica. O completamento desta topoloxía pódese identificar co completamento do anel local e co límite inverso Este completamento é un anel local completo, xeralmente denotado Cando é o anel dos enteiros, e onde é un número primo, este completamento é o anel dos enteiros -ádicos
A definición do completamento como un límite inverso e a afirmación anterior do lema de Hensel implican que toda factorización en polinomios coprimos por pares módulo dun polinomio pódese levantar de forma única a unha factorización da imaxe de en Do mesmo xeito, toda raíz simple de módulo pódese levantar a unha raíz simple da imaxe de en
Proba O lema de Hensel demóstrase xeralmente de forma incremental elevando unha factorización sobre a unha factorización sobre (Levantamento linear), ou unha factorización sobre (Levantamento cadrático).
O principal ingrediente da demostración é que os polinomios primos sobre un corpo satisfán a identidade de Bézout. É dicir, se e son polinomios univariados coprimos sobre un corpo (aquí ), hai polinomios e tal que e
A identidade de Bézout permite definir polinomios coprimos e demostrar o lema de Hensel, aínda que o ideal non sexa maximal. Polo tanto, nas seguintes demostracións, pártese dun anel conmutativo , un ideal , un polinomio que ten un coeficiente principal que é invertíbel módulo (é a súa imaxe en é unha unidade en ), e a factorización de módulo ou módulo unha potencia de , tal que os factores satisfagan a identidade de Bézout módulo . Nestas probas, significa
Levantamento linear Sexa un ideal dun anel conmutativo , e un polinomio univariado con coeficientes en que ten un coeficiente principal que é invertíbel módulo (é dicir, a imaxe de en é unha unidade en ).
Supoña que para algún enteiro positivo hai unha factorización
tal que e son polinomios mónicos que son coprimos módulo , no sentido de que existen tal que Entón, hai polinomios tal que e
Nestas condicións, e son únicos módulo
A maiores, e satisfán a mesma identidade de Bézout que e , é dicir, Isto dedúcese inmediatamente das afirmacións anteriores, mais é necesario para aplicar de forma iterativa o resultado con valores crecentes de .
Unicidade Sexa , , e como no apartado anterior. Sexa
unha factorización en polinomios coprimos (no sentido anterior), tal que A aplicación de levantamento linear para mostra a existencia de e tal que e
Os polinomios e están definidos de forma única módulo Isto significa que, se outro par cumpre as mesmas condicións, entón temos
Levantamento cadrático O levantamento linear permite levantar unha factorización módulo a unha factorización módulo O levantamento cadrático permite levantar directamente a unha factorización módulo a costa de levantar tamén a identidade de Bézout e de computar módulo en lugar de módulo (se se utiliza a descrición anterior de levantamento linear).
O levantamento cadrático baséase na seguinte propiedade.
Supoña que para algún número enteiro positivo hai unha factorización
tal que e son polinomios mónicos que son coprimos módulo , no sentido de que existen tal que Daquela, hai polinomios tal que e
A maiores, e satisfai a identidade de Bézout do seguinte xeito
(Isto é necesario para permitir iteracións de levantameno cadrático.)
Exemplo explícito Sexa
Módulo 2, o lema de Hensel non se pode aplicar xa que a redución de módulo 2 é simplementepáxs 15-16
con 6 factores non sendo relativamente primos entre si. Polo criterio de Eisenstein, con todo, pódese concluír que o polinomio é irredutíbel en
Sobre , por outra parte, temos
onde é a raíz cadrada de 2 en . Como 4 non é un cubo en estes dous factores son irredutíbeis en . De aí a factorización completa de en e é
onde é unha raíz cadrada de 2 en que se pode obter levantando a factorización anterior. A outra raíz sería o complemeto a 7 da anterior (ver exemplo de Número p-ádico).
Finalmente, en o polinomio divídese en
con todos os factores relativamente primos entre si, de xeito que en e hai 6 factores cos enteiros 727-ádicos (non racionais).
Usando derivadas para levantar raíces Sexa un polinomio con coeficientes enteiros (ou enteiros -ádicos) e sexan m, k enteiros positivos tal que m ≤ k. Se r é un número enteiro tal que
daquela, para todo existe un enteiro s tal que
A maiores, este s é único módulo pk+m, e pódese calcular explicitamente como o número enteiro tal que
onde é un número enteiro que satisfai
(onde é o inverso multiplicativo de módulo ).
Teña en conta que e así temos que a condición cúmprese. Por outra parte, se , entón poden existir 0, 1 ou varios s (ver levantamento de Hensel a continuación).
Levantamento de Hensel Usando o lema, pódese "levantar" unha raíz r do polinomio f módulo pk a unha nova raíz s módulo p k +1 tal que (asumindo ; tomando m maior dedúcese por indución). De feito, unha raíz módulo pk+1 tamén é unha raíz módulo p k, polo que as raíces módulo pk+1 son precisamente os levantamentos de raíces módulo pk. A nova raíz s é congruente con r módulo p, polo que a nova raíz tamén satisfai Polo que o levantamento pódese repetir, e partindo dunha solución rk de podemos derivar unha secuencia de solucións rk+1, rk+2, ... da mesma congruencia para potencias sucesivamente superiores de p, sempre que para a raíz inicial rk. Isto tamén mostra que f ten o mesmo número de raíces mod pk que mod pk +1, mod pk +2 ou calquera outra potencia superior de p, sempre que as raíces de f mod p k sexan todas simples.
Que pasa con este proceso se r non é unha raíz simple mod p? Supoñamos que
Entón implica É dicir, para todos os números enteiros t. Polo tanto, temos dous casos:
Se entón non hai levantamento de r a unha raíz de f (x) módulo p k +1 . Se entón cada levantamento de r módulo pk+1 é unha raíz de f (x) módulo pk +1 .
Exemplo. Para ver ambos os casos examinamos dous polinomios diferentes con :
e . Entón e Temos o que significa que ningún levantamento de 1 módulo 4 é unha raíz de f (x) módulo 4.
e . Entón e Porén, xa que podemos levantar a nosa solución ao módulo 4 e os dous levantamentos (é dicir, 1, 3) son solucións. A derivada aínda é 0 módulo 2, polo que a priori non sabemos se podemos levantalas módulo 8, pero de feito podemos, xa que g(1) é 0 mod 8 e g (3) é 0 mod 8, dando solucións en 1, 3, 5 e 7 mod 8. Dado que deles só g(1) e g (7) son 0 mod 16, podemos levantar só 1 e 7 módulo 16, dando 1, 7, 9 e 15 mod 16. Deles, só 7 e 9 dan , polo que estes poden levantarse dando 7, 9, 23 e 25 mod 32. Resulta que para cada número enteiro , hai catro levantamentos de 1 mod 2 a unha raíz de .
Lema de Hensel para números p-ádicos