O teorema do punto fixo de Brouwer é un teorema de punto fixo en topoloxía, nomeado na honra de L. E. J. (Bertus) Brouwer. O teorema establece que para calquera función continua que envíe un conxunto compacto convexo non baleiro en si mesmo, hai un punto tal que . As formas máis sinxelas do teorema de Brouwer son para funcións continuas desde un intervalo pechado nos números reais a el mesmo ou desde un disco pechado a el mesmo. Unha forma máis xeral que a anterior é para funcións continuas desde un subconxunto compacto convexo non baleiro do espazo euclidiano nel mesmo.
Entre centos de teoremas de punto fixo, o de Brouwer é particularmente ben coñecido, debido en parte ao seu uso en numerosos campos das matemáticas. No seu campo orixinal, este resultado é un dos teoremas chave que caracterizan a topoloxía deos espazos Euclideanos, xunto co Teorema da curva de Jordan, o teorema da bóla peluda, o Teorema de invarianza da dimensión e o [teorema de Borsuk–Ulam. Isto dálle un lugar entre os teoremas fundamentais da topoloxía. O teorema úsase tamén para probar resultados profundos sobre ecuacións diferenciais e é tratado na maioría dos cursos introductorios en xeometría diferencial. Aparece en campos tan improbábeis como a teoría de xogos. En economía, o teorema do punto fixo de Brouwer e a súa extensión, o teorema do punto fixo de Kakutani, xoga un papel central na proba de existencia dun equilibrio xeral nas economías de mercado, desenvolvida nos anos de 1950 polos gañadores do premio Nobel de economía Kenneth Frecha e Gérard Debreu.Ver páxina 15 de: D. Leborgne Calcul différentiel et géométrie Puf (1982)
O teorema foi estudado por primeira vez en relación co traballo en ecuacións diferenciais polos matemáticos franceses ao redor de Henri Poincaré e Charles Émile Picard. A demostración de resultados como o teorema de Poincaré–Bendixson require o uso de métodos topolóxicos. Este traballo a finais do século 19.º derivou en varias versións sucesivas do teorema. O caso das aplicacións diferenciabeis da bóla pechada n-dimensional foi probado primeiro en 1910 por Jacques Hadamard Jacques Hadamard: Note sur quelques applications de l'indice de Kronecker in Jules Tannery: Introduction à la théorie des fonctions d'une variable (Volume 2), 2nd edition, A. Hermann & Fils, Paris 1910, pp. 437–477 (French) e o caso xeral para aplicacións continuas por Brouwer en 1911.
Enunciado O teorema ten varias formulacións, dependendo do contexto no cal é utilizado e o seu grao de xeneralización. O máis sinxelo é ás veces dado como segue:
No plano toda función continua desde un disco pechado en si mesmo ten polo menos un punto fixo.
Isto pode ser xeneralizado a unha dimensión finita arbitraria:
No espazo Euclideano Toda función continua desde unha bóla pechada dun espazo Euclideano en si mesma ten un punto fixo.Page 15 of: D. Leborgne Calcul différentiel et géométrie Puf (1982) .
Unversión lixeiramente máis xeral é a segunte:Esta versión dedúcese directamente da anterior, pois todo subconxunto convexo e compacto dun espazo euclidiano é homeomorfo a unha bóla pechada da mesma dimensión que o subconxunto; véxase
Nun Conxunto compacto convexo, Toda función continua desde un subconxunto compacto convexo non baleiro K dun espazo Euclidean no mesmo K ten un punto fixo.
Unha forma máis xeral é máis coñecida cun nome diferente:
Teorema do Punto fixo deSchauder Toda función continua desde un subconxunto compacto convexo Knon baleiro dun espazo de Banach ao mesmo K ten un punto fixo.
Importancia das hipóteses O teorema cúmprese únicmente para funcións que son endomorfismos (funcións que teñen o mesmo conxunto como dominio e codominio) e para conxuntos non baleiros que son compactos (por tanto, en particular, pechados e acoutados) e convexos (ou homeomorfos a un convexo). Os exemplos seguintes mostran por que estas condicións son importantes.
A función f como un endomorfismo Consideremos a función
con dominio [-1,1]. A imaxe da función é [0,2]. Así, f non é un endomorfismo.
Acoutamento Consideremos a función
que é unha función continua desde a si mesmo. Como move cada punto á dereita, non pode ter un punto fixo. O espazo é convexo e pechado, mais non acoutado.
Carácter pechado Consideremos a función
que é unha función continua desde o intervalo aberto a el mesmo. Xa que o punto non está no intervalo, non hai ningún punto no dominio tal que . O conxunto é convexo e acoutado, mais non pechado. Doutra banda, a función ten un punto fixo no intervalo pechado , especialmente . O intervalo pechado é compacto, o intervalo aberto non o é.
Convexidade A convexidade non é estritamente necesaria para o teorema do punto fixo de Brouwer. Posto que as propiedades implicadas (continuidade, ser un punto fixo) son invariantes baixo homeomofismos, o teorema do punto fixo de Brouwer é equivalente a formas nas que ao dominio se lle pide que sexa unha bóla unidade pechada. Pola mesma razón cúmprese para calquera conxunto homeomorfo a unha bóla pechada (e por tanto tamén pechada, acoutada, conexa, sen buracos, etc.).
O seguinte exemplo mostra que o teorema do punto fixo deBrouwer non é certo para dominios con buracos. Consideremos a función , que é unha función continua desde a circunferencia unidade en si mesma. Como x≠x cúmprese para calquera punto da circunferencia unidade, f non ten puntos fixos. O exemplo análogo funciona para a esfera n-dimensional (ou calquera dominio simétrico que non conteña a orixe). A circunferencia unidade é pechada e acoutada, mais ten un buraco (e por tanto non é convexa). A función f ten un punto fixo para o disco unidade, xa que leva a orixe en si mesma.
Unha xeneralización formal do teorema do punto fixo de Brouwer para dominios "sen buracos" pódese derivar do teorema do punto fixo de Lefschetz .
Ilustracións O teorema ten varias ilustracións no "mundo real". Aquí van algúns exemplos:
Colle dúas follas de papel milimetrado do mesmo tamaño con sistemas de coordenadas neles, coloca unha estendida sobre a mesa e engurra (sen rasgar nin romper) a outra, poñéndoa de calquera xeito enriba da primeira de maneira que o papel engurrado non sobresae da folla plana. Haberá entón polo menos un punto da folla engurrada que quede xusto enriba do seu punto correspondente (é dicir, o punto coas mesmas coordenadas) da folla plana. Isto é unha consecuencia do caso n = 2 do teorema de Brouwer aplicado á aplicación continua que asigna ás coordenadas de cada punto da folla engurrada as coordenadas do punto da folla plana situado inmediatamente debaixo. Colle un mapa ordinario dun país, e supón que ese mapa se coloca sobre unha mesa dentro dese mesmo país. Sempre existirá un punto do mapa de tipo "Vostede está aquí" que represente ese mesmo punto no país. En tres dimensións, unha consecuencia do teorema do punto fixo de Brouwer é que, por moito que se remexa un cóctel delicioso nun vaso (ou se pense nun batido), cando o líquido queda en repouso, existirá algún punto do líquido que quede exactamente no mesmo lugar do vaso que antes de remexelo, sempre que a posición final de cada punto sexa unha función continua da súa posición orixinal, que o líquido despois de remexido siga estando contido no espazo que ocupaba orixinariamente, e que o vaso (e a forma da superficie remexida) manteñan un volume convexo. Pedir un cóctel axitado, non remexido rompe a condición de convexidade (xa que o "axitar" se define como unha serie dinámica de estados non convexos de contención inercial no espazo baleiro baixo unha tapa). Nese caso, o teorema non se aplica, e así todos os puntos da disposición do líquido poderían desprazarse con respecto ao estado orixinal.
Enfoque intuitivo Explicacións atribuídas a Brouwer O teorema dise que tivo a súa orixe nunha observación de Brouwer ao preparar unha cunca de café gourmet.O interese desta anécdota reside no seu carácter intuitivo e didáctico, mais a súa veracidade é dubidosa. Tal como se mostra na sección de historia, a orixe do teorema non está na obra de Brouwer. Máis de vinte anos antes, Henri Poincaré xa probara un resultado equivalente, e cinco anos antes ca Brouwer, P. Bohl xa demostrara o caso tridimensional. Ao remexer o café para disolver un terrón de azucre, semella que sempre hai un punto da superficie que permanece inmóbil. Brouwer tirou a conclusión de que, en calquera momento, hai un punto na superficie que non se move.Esta cita procede orixinariamente dunha emisión de televisión: Archimède, Arte, 21 de setembro de 1999 O punto fixo non é necesariamente o punto que parece inmóbil, xa que o centro da turbulencia pode moverse un pouco. O resultado non é intuitivo, xa que o punto fixo orixinal pode chegar a desprazarse cando aparece outro punto fixo.
Segundo se di, Brouwer engadiu: "Podo formular este resultado espléndido doutra maneira: tomo unha folla horizontal, e outra idéntica que engurro, estiro e coloco enriba da primeira. Entón hai algún punto da folla engurrada que coincide co seu lugar na folla base." Brouwer "alisa" a folla como cun ferro quente, sen eliminar os pregues e engurras. Ao contrario que no exemplo da cunca de café, o exemplo do papel engurrado tamén demostra que poden existir múltiples puntos fixos. Isto distingue o resultado de Brouwer doutros teoremas de punto fixo, como o de Stefan Banach, que garanten a unicidade.
Caso unidimensional 200px|dereita En dimensión un, o resultado é intuitivo e fácil de demostrar. A función continua f está definida nun intervalo pechado [a, b] e toma valores no mesmo intervalo. Dicir que esta función ten un punto fixo equivale a dicir que a súa gráfica (verde escuro na figura da dereita) interseca coa da función definida no mesmo intervalo [a, b] que leva x en x (verde claro).
De maneira intuitiva, calquera liña continua que vaia do bordo esquerdo ao bordo dereito do cadrado debe necesariamente cortar a diagonal verde. Para demostralo, considérase a función g definida como g(x) = f(x) − x. Esta é ≥ 0 en a e ≤ 0 en b. Polo teorema do valor intermedio, g ten unha raíz no intervalo [a, b]; esa raíz é un punto fixo.
Segundo se conta, Brouwer expresouno do seguinte xeito: "No canto de examinar unha superficie, imos demostrar o teorema cun anaco de cordel. Comecemos co cordel estendido, e despois dobrámolo de novo. Aplanemos agora o cordel dobrado. Haberá algún punto do cordel que non mudou a súa posición respecto da que tiña no cordel estendido."
Historia O teorema do punto fixo de Brouwer foi un dos primeiros logros da topoloxía alxébrica, e constitúe a base doutros teoremas do punto fixo máis xerais que son fundamentais na análise funcional.
O caso n = 3 foi demostrado por primeira vez por Piers Bohl en 1904 (publicado no Journal für die reine und angewandte Mathematik).
Posteriormente, L. E. J. Brouwer demostrou o resultado en 1909. Jacques Hadamard probou o caso xeral en 1910, e o propio Brouwer atopou unha demostración diferente ese mesmo ano.
Como todas estas demostracións iniciais eran indirectas e de tipo non construtivo, ían en contra dos ideais intuicionistas do propio Brouwer.
Aínda que a existencia dun punto fixo segundo este teorema non é construtiva no sentido do construtivismo en matemáticas, actualmente coñécense métodos para aproximar os puntos fixos cuxa existencia garante o teorema de Brouwer. Antes do descubrimento miniatura|dereita|Para fluxos nunha zona non acoutada, ou nunha rexión con "buratos", o teorema non é aplicable. miniatura|esquerda|O teorema aplícase a calquera rexión con forma de disco, na que garante a existencia dun punto fixo.