En estatística, a distribución mostral ou distribución de mostraxe é a distribución de probabilidade dunha estatística calculada a partir dunha mostra aleatoria. En concreto, corresponde á distribución dos valores que toma unha estatística cando se consideran todas as mostras posibles dun tamaño determinado extraídas dunha mesma poboación estatística.

O estudo das distribucións mostrais constitúe un elemento fundamental da inferencia estatística, xa que permite estimar parámetros descoñecidos dunha poboación, calcular intervalos de confianza e realizar contrastes de hipóteses.

Introdución

Sexan as variables aleatorias dunha mostra aleatoria de tamaño procedente dunha poboación cunha determinada distribución. Se se define unha estatística

entón é tamén unha variable aleatoria. A súa distribución de probabilidade denomínase distribución mostral da estatística .

A distribución mostral depende de varios factores:

a distribución da poboación de orixe; a estatística considerada; o procedemento de mostraxe empregado; o tamaño da mostra.

En moitos casos, resulta de especial interese saber se a distribución mostral pode aproximarse mediante unha distribución asintótica, é dicir, unha distribución límite cando o tamaño da mostra tende a infinito.

Distribución mostral da media

Un dos exemplos máis coñecidos é a distribución mostral da media mostral. Se a poboación segue unha distribución normal con media e varianza , e se toman mostras aleatorias de tamaño , entón a media mostral

segue tamén unha distribución normal:

Incluso cando a distribución da poboación non é normal, a distribución mostral da media tende a aproximarse a unha normal para tamaños de mostra grandes, segundo establece o teorema central do límite.

Erro estándar

A desviación típica dunha distribución mostral denomínase erro estándar da estatística correspondente.

No caso da media mostral, o erro estándar exprésase como

onde é a desviación típica da poboación e o tamaño da mostra.

Esta relación mostra que, para reducir o erro estándar á metade, é necesario multiplicar por catro o tamaño da mostra.

Exemplos de distribucións mostrais

Distribución binomial

Se as variables mostrais seguen unha distribución de Bernoulli con parámetro , a suma

segue unha distribución binomial:

A proporción mostral é unha estimación do parámetro .

Diferenza de medias

Se se consideran dúas poboacións normais independentes,

e

,

entón a diferenza entre as medias mostrais verifica

Máximo mostral

Se son variables independentes cunha función de distribución , o máximo

ten función de distribución

Aproximacións e simulación

En moitas situacións non existe unha expresión analítica sinxela para a distribución mostral dunha estatística. Nestes casos utilízanse métodos de aproximación, entre os que destacan:

a simulación de Montecarlo; o método bootstrap; as aproximacións asintóticas baseadas no teorema central do límite.

Estes métodos permiten estudar o comportamento dunha estatística mediante simulación computacional ou mediante técnicas de remostraxado.

Aplicacións

As distribucións mostrais teñen un papel central na inferencia estatística. Entre as súas aplicacións principais destacan:

a construción de estimadores; o cálculo de intervalos de confianza; o desenvolvemento de contrastes de hipóteses; o estudo das propiedades dos estimadores, como o nesgo estatístico ou a eficiencia.

Historia do concepto

O termo inglés sampling distribution foi introducido polo estatístico británico Ronald Aylmer Fisher na década de 1920, no contexto do desenvolvemento da moderna teoría da inferencia estatística.

O estudo das distribucións mostrais converteuse posteriormente nun dos fundamentos da estatística matemática.

Véxase tamén

Inferencia estatística Teorema central do límite Erro estándar Intervalo de confianza Bootstrap (estatística) Simulación de Montecarlo

Referencias

Véxase tamén Bibliografía

Categoría:Estatística Categoría:Inferencia estatística Categoría:Distribucións de probabilidade