O teorema de Cayley é un resultado de teoría de grupos que permite representar calquera grupo como un grupo de permutacións.
Historia Aínda que agora pareza bastante elemental, na súa época as definicións modernas non existían e cando Cayley introduciu o que agora se denomina grupo, non quedou claro de inmediato que iso era equivalente aos grupos previamente coñecidos, que agora se chaman grupos de permutación. O teorema de Cayley unificou ambos.
Aínda que Burnside atribuíu o teorema a Camille Jordan, Eric Nummela, con todo, argumentou que o nome estándar —"Teorema de Cayley"— é de feito apropiado. O matemático británico Arthur Cayley (1821-1895), no seu artigo orixinal de 1854, demostrou que a correspondencia no teorema era biunívoca, pero non puido demostrar explicitamente que fose un homomorfismo (e polo tanto un isomorfismo). Con todo, Nummela sinala que Cayley fixo que este resultado fose coñecido pola comunidade matemática dezaseis anos antes de Jordan.
Demostración Sexa G un grupo e g un elemento deste. Defínese a aplicación de en como a traslación á esquerda:.A asociatividade da lei de grupos confirma que:.Dedúcese en particular que é unha permutación (bixección) de inversa (tamén bixectiva) , o que permite definir unha aplicación do grupo no grupo (o grupo de permutacións ou bixeccións coa operación da composición) por:
Por , é un homomorfismo de grupos.
Por tanto, a imaxe de , representada usualmente por ou , é un subgrupo de .
Demostremos que é inxectiva. Para iso considéranse e dous elementos do grupo. Se supoñemos que as súas imaxes por , e , son iguais, entón as imaxes do elemento neutro por ambas tamén son iguais e, por definición de e , ten que ser igual a . Isto proba que a aplicación é efectivamente inxectiva.
Vimos que aplicación é un homomorfismo inxectivo. Ademais é sobrexectiva respecto do grupo , daquela establece un isomorfismo de grupos sobre a súa imaxe. Así pois, é isomorfo ao subgrupo de dado por .
Notas
Véxase tamén
Bibliografía
Categoría:Teoría de grupos Categoría:Álxebra