O teorema de Bauer-Fike é un resultado fundamental na teoría de perturbación do autovalor dunha matriz diagonalizable de valor complexo. En esencia, establece unha cota superior absoluta para a desviación dun valor propio da matriz perturbada con respecto ao valor propio da matriz exacta. Simplificando, o que di é que a sensibilidade dos valores propios se estima polo condicionamento da matriz de vectores propios.
Este teorema foi probado por Friedrich L. Bauer e C. T. Fike no ano 1960.
Notación No que segue empregaremos a seguinte notación:
é unha matriz diagonalizable. é a matriz de autovectores tal que , onde é unha matriz diagonal cos autovalores de . Se é invertible, o seu número de condicionamento na norma inducida p denotarase por e virá dado por:
O Teorema de Bauer-Fike
Sexan unha perturbación da matriz e un autovalor da matriz . Entón:
Demostración: Primeiramente estamos en condicións de asegurar que , pois de non ser así, e o resultado sería trivial debido a que . Xa que é un autovalor de temos que . Daquela:
Porén a hipótese implica que , por tanto podemos escribir:
Isto mostra que é un valor propio de .
Posto que todas as p-normas matriciais inducidas son consistentes (a norma é submultiplicativa) temos que . Así:
Pero é unha matriz diagonal, cuxa norma se calcula da seguinte forma:
de onde:
Como queriamos probar.
Categoría:Teoremas Categoría:Análise matemática Categoría:Álxebra lineal