Para a derivación en cálculo, véxase Derivada.
Para a técnica de análise numérica, véxase Derivación numérica.
dereita|300px|Derivación.
A derivación, matematicamente, é un concepto esencial para determinar os espazos tanxentes sobre variedades diferenciábeis, e as súas calidades, propiedades e consecuencias.
É unha peza fundamental, clave no desenvolvemento da teoría para a xeometría diferencial tal e como está estruturada actualmente.
Definición de derivación Sexa unha variedade diferenciábel e , chamaremos derivación no punto a
aplicación lineal, é dicir:
, ,
,
.
e tal que , , é dicir, que cumpre a regra de Leibniz.
Observación
é o conxunto de funcións diferenciábeis en , e é un álxebra conmutativa, (é un espazo vectorial).
é equivalente a , é dicir, avaliado no punto .
Exemplos de derivación
A derivada parcial Sexa e , vexamos que a aplicación seguinte é derivación:
Demostración:
Vexamos primeiro que é lineal, é dicir, que e vemos que:
,
.
Vexamos finalmente que é unha derivación:
.
Queda, así, demostrado que a derivada parcial é unha derivación.
A derivada direccional Sexa , e , pódese ver, de igual modo que no exemplo anterior, que a aplicación seguinte é derivación:
.
Definicións dereita|250px|Plano tanxente.
Sexa unha variedade diferenciábel e , chamaremos espazo tanxente a en ao espazo vectorial das derivacións de en , notado por , e os seus elementos chamaranse vectores tanxentes a en .
Consecuencias
Propiedade da derivación dunha función localmente constante Sexa unha variedade diferenciábel, , e tal que contorno aberto en onde , , entón temos que .
Demostración:
Por linealidade de temos
,
aquí, aplicando a condición de derivación a temos
,
de simplificar este último, resulta , aplicándoo ao anterior resulta que .
Exemplo Interésanos que a función localmente constante sexa infinitamente diferenciábel en todas as partes, é dicir, de clase :
a función meseta asociada a , onde compacto cuxo interior contén a .
Propiedade da derivación do produto coa función meseta Sexa unha variedade diferenciábel, , , e unha función meseta asociada a , temos que:
.
Demostración:
Aplicando a regra de Leibniz temos que , pola propiedade anterior temos que
Propiedade Sexa unha variedade diferenciábel, e tal que contorno aberto en onde , entón temos que:
.
Demostración:
Sexa unha función meseta asociada a , temos así que en todo tamén por tanto , e pola propiedade anterior temos que .
Véxase tamén Bibliografía Carlos Currás Bosch, Geometria diferencial: varietats diferenciables i varietats de Riemann, Ed:UB. 2003.
Categoría:Xeometría diferencial