miniatura| Unha superficie de genus-2 En matemáticas, o genus (ou xénero) ten varios significados diferentes, mais moi relacionados. Intuitivamente, o genus é o número de "buratos" dunha superficie. Unha esfera ten genus 0, mentres que un toro ten genus 1.
Topoloxía
Superficies orientábeis miniatura| A cunca de café e a rosquilla que se mostran nesta animación teñen genus 1. O genus dunha superficie conexa e orientábel é un número enteiro que representa o número máximo de cortes ao longo de curvas simples pechadas que non se intersecan sen que se desconecte a variedade resultante. É igual ao número de asas que hai.
Alternativamente, pódese definir en termos da característica de Euler , a través da relación para superficies pechadas, onde é o genus. Para superficies con compoñentes fronteira, a ecuación sería .
Por exemplo:
A esfera e un disco ambos os dous teñen genus cero. Un toro ten genus 1, así como a superficie dunha cunca de café con asa.
A construción explícita de superficies do genus g dáse no artigo sobre o polígono fundamental.
Superficies non orientábeis O genus non orientábel, demigenus ou genus de Euler dunha superficie pechada non orientábel conexa é un número enteiro positivo que representa o número de casquetes cruzados unidos a unha esfera. Alternativamente, pódese definir para unha superficie pechada en termos da característica de Euler χ, mediante a relación χ = 2 − k, onde k é o genus non orientábel.
Por exemplo:
Un plano proxectivo real ten un genus 1 non orientábel. Unha botella Klein ten o genus 2 non orientábel.
Nó O genus dun nó K defínese como o genus mínimo de todas as superficies de Seifert para K. Unha superficie de Seifert dun nó é, porén, unha variedade con fronteira, sendo a fronteira o nó, é dicir, homeomorfo á circunferencia unitaria. O genus de tal superficie defínese como o genus da 2-variedade, que se obtén colando o disco unitario ao longo da fronteira.
Corpo con asas O genus dun corpo con asas tridimensional é un número enteiro que representa o número máximo de cortes ao longo dos discos mergullados sen que sexa non conexa a variedade resultante. É igual ao número de asas que ten.
Por exemplo:
Unha bóla ten genus 0. Un toro sólido D2 × S1 ten genus 1.
Teoría de grafos O genus dun grafo é o número enteiro mínimo n tal que o grafo pode ser debuxado nunha esfera con n asas sen cruzarse (é dicir, unha superficie orientada de genus n). Así, un grafo plano ten o genus 0, porque se pode debuxar nunha esfera sen cruzarse.
Na teoría de grafos topolóxicos hai varias definicións do genus dun grupo. Arthur T. White introduciu o seguinte concepto: o genus dun grupo G é o genus mínimo dun grafo de Cayley (conexo, non orientado) para G.
Xeometría alxébrica Hai dúas definicións relacionadas de genus de calquera esquema alxébrico proxectivo : o genus aritmético e o genus xeométrico. Cando é unha curva alxébrica con corpo de definición os números complexos, e se non ten puntos singulares, entón estas definicións coinciden e coinciden coa definición topolóxica aplicada á superficie de Riemann de (a súa variedade de puntos complexos). Por exemplo, a definición de curva elíptica a partir da xeometría alxébrica está ligada á curva proxectiva non singular de genus 1 cun punto racional dado sobre ela.
Polo teorema de Riemann-Roch, unha curva plana de grao irredutíbel dada polo lugar de esvaecemento dunha sección ten genus xeométrico
onde é o número de singularidades cando se contan correctamente.
Xeometría diferencial En xeometría diferencial, o genus dunha variedade orientada pode definirse como un número complexo suxeito ás condicións
se e son cobordantes.
Noutras palabras, é un homomorfismo de aneis , onde é o anel de cobordismo orientado de Thom.
O genus é multiplicativo para todos os fibrados de variedades de espinor cunha estrutura compacta conexa se é unha integral elíptica como para algúns
Este genus chámase genus elíptico.
A característica de Euler non é un genus neste sentido xa que non é invariante en relación aos cobordismos.
Notas
Véxase tamén
Bibliografía
Outros artigos Grupo (matemáticas) Genus aritmético Genus xeométrico Genus dunha forma cadrática Espinor
Categoría:Topoloxía Categoría:Xeometría Categoría:Teoría de grafos