Geometrijska mehanika grana je matematike koja primjenjuje alate diferencijalne geometrije za proučavanje mehanike i raznih mehaničkih sustava. Ima primjene u mehanici krutih tijela, mehanici fluida i drugih deformabilnih tijela, kvantnoj mehanici, termodinamici, teoriji upravljanja i dr.
Povijest Klasična mehanika, jedna od najstarijih grana znanosti, prošla je kroz dugu evoluciju, razvijajući se ruku pod ruku s mnogim područjima matematike, uključujući matematičku analizu, diferencijalnu geometriju, teoriju Liejevih grupa i Liejevih algebri.Holm, Darryl D, and others, Geometric Mechanics and Symmetry: From Finite to Infinite Dimensions (Oxford, 2009; online edn, Oxford Academic, 31 Oct. 2023), https://doi.org/10.1093/oso/9780199212903.001.0001
Kao moderna disciplina, geometrijska mehanika razvila se 1960-ih iz četiri ključna rada: Vladimira Arnolda (1966.),Arnold, Vladimir (1966), "Sur la géométrie différentielle des groupes de Lie de dimension infinie et ses applications à l'hydrodynamique des fluides parfaits", Annales de l'Institut Fourier, 16: 319–361, doi:10.5802/aif.233 Stephena Smalea (1970.),Smale, S. (1970). "Topology and mechanics. I", Inventiones mathematicae, 10, 305–331. Jean-Marieja Souriaua (1970.),Souriau, J.-M. (1970). Structure des systèmes dynamiques. Dunod, Paris. te prvog izdanja knjige Foundations of Mechanics Abrahama i Marsdena (1967.).Abraham, R., & Marsden, J. E. (1967). Foundations of Mechanics. W. A. Benjamin, Inc.
Arnold je pokazao da se Eulerove jednadžbe za kruto tijelo mogu interpretirati kao geodetski tok na grupi rotacija SO(3), a zatim tu geometrijsku ideju primijenio na idealne fluide te izveo Eulerove jednadžbe dinamike fluida. Smale je uveo momentnu mapu i istražio ulogu simetrije i topologije u mehaničkim sustavima.
Diferencijalna geometrija
thumb|upright|Torus kao mnogostrukost dimenzije 2: lokalno je difeomorfan s .
Diferencijalna geometrija grana je matematike koja proučava glatke prostore poput zakrivljenih površina, glatkih mnogostrukosti i višedimenzionalnih prostora. U kontekstu geometrijske mehanike, diferencijalna geometrija pruža formalni jezik za opisivanje prostora stanja (npr. faznog prostora), gibanja sustava i simetrija.Arnold, Vladimir I. (1978). Mathematical Methods of Classical Mechanics. Translated by K. Vogtmann and A. Weinstein. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90299-1.
Ključni objekti proučavanja diferencijalne geometrije su glatke mnogostrukosti (eng. manifolds), koje predstavljaju -dimenzionalne prostore koji lokalno izgledaju kao Euklidski prostor, a u kojima se fizička stanja sustava mogu glatko mijenjati.Needham, Tristan (2021). Visual Differential Geometry and Forms: A Mathematical Drama in Five Acts. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-20221-9.
Nadalje, ostali objekti proučavanja su vektorska polja, koja opisuju gibanje, diferencijalne forme koje omogućuju integraciju preko tih prostora. Posebno važnu ulogu igraju Liejeve grupe i algebre, koje opisuju simetrije mehaničkih sustava i njihovu dinamiku.Hall, Brian C. (2015). Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction. 2nd ed. Springer.
Simplektička geometrija
Simplektička geometrija grana je diferencijalne geometrije koja proučava mnogostrukosti opremljene simplektičkom diferencijalnom formom. Ova struktura prirodno opisuje fazni prostor u klasičnoj mehanici i osigurava geometrijsku formulaciju Hamiltonove dinamike.
Za razliku od Riemannove geometrije (gdje se koristi unutarnji produkt), simplektička geometrija koristi asimetrične forme koje mjere "orijentirane površine" i ne zahtijevaju pojam udaljenosti. Osnovni objekt simplektičke geometrije je simplektička mnogostrukost, koja je lokalno uvijek jednaka s kanonskom simplektičkom formom danom kao:
gdje su i lokalne koordinate koje se često interpretiraju kao položaj i količina gibanja u mehanici.
Na simplektičkoj mnogostrukosti , svaka glatka funkcija definira jedinstveno vektorsko polje kao:
Također, ekvivalentna, apstraktnija definicija Hamiltonovog vektorskog polja glasi:
gdje je interiorni produkt (kontrakcija) , Hamiltonovo vektorsko polje, a vanjska derivacija glatke funkcije .Loring W. Tu, An Introduction to Manifolds, 2e, Springer. 2011. doi:10.1007/978-1-4419-7400-6
Budući da je nedegenerirana, je jednoznačno, i svaka funkcija generira točno jedno vektorsko polje.
Simplektička mnogostrukost
Simplektička mnogostrukost uređeni je par , gdje je glatka mnogostrukost, a diferencijalna 2-forma koja zadovoljava sljedeća dva svojstva:
(zatvorenost), za svaki i (nedegegeneriranost).
Drugim riječima, je neinverzibilna, nesimetrična bilinearna forma na tangentnom prostoru , koja omogućuje prirodno preslikavanje vektora u kovektore.
Fazni prostor
U analitičkoj mehanici, konfiguracijski prostor je prostor svih mogućih položaja. Ako sustav ima stupnjeva slobode, tada je konfiguracijski prostor -dimenzionalni prostor gdje svaka točka odgovara jedinstvenom stanju položaja sustava.
Konfiguracijski prostor nije dovoljan za potpuni opis mehaničkog sustava jer ne uzima u obzir brzine. Skup brzina dostupnih sustavu definira ravninu tangentu na konfiguracijsku mnogostrukost sustava. U točki , ta tangentna ravnina označava se s . Vektori momenta su linearni funkcionali tangentne ravnine, poznati kao kotangentni vektori; za točku , ta kotangentna ravnina označava se s .
Skup položaja i momenta mehaničkog sustava tvori kotangentni snop konfiguracijske mnogostrukosti te se ova mnogostrukost naziva fazni prostor sustava.
Simplektička mnogostrukost upravo je matematička struktura koja opisuje fazni prostor u Hamiltonovoj mehanici. Svaka točka u predstavlja stanje mehaničkog sustava, dok forma opisuje dinamiku sustava.https://ncatlab.org/nlab/show/cotangent+bundle
Varijacijski principi
Mehanika formulirana pomoću varijacijskih principa, odnosno analitička mehanika nastala je u 18. stoljeću i kasnije kao reformulacija Newtonove mehanike.
Analitička mehanika temelji se na principu stacionarnog djelovanja, a glavni objekt je funkcional djelovanja:
gdje je Lagrangeova funkcija.
Hamiltonov princip stacionarnog djelovanja kaže da je prava evolucija sustava opisanog s poopćenih koordinata ona u kojoj je varijacija djelovanja jednaka nuli, odnosno:
Jednadžbe koja zadovoljavju uvjet ekstrema funkcionala djelovanja su Euler-Lagrangeove jednadžbe:
Hamiltonova mehanika
U faznom prostoru Euler-Lagrangeove jednadžbe prelaze u sustav parcijalnih diferencijalnih jednadžbi, Hamiltonove jednadžbe u dimenzije.Lanczos, Cornelius (1970). The variational principles of mechanics (4th ed.). New York: Dover Publications Inc. Introduction, pp. xxi–xxix. ISBN 0-486-65067-7.
Poissonove zagrade U kanonskim koordinatama (također poznatim kao Darbouxove koordinate) na faznom prostoru, za dvije funkcije i Poissonova zagrada ima oblik:
Hamiltonove jednadžbe mogu se onda zapisati u kompaktnom obliku jedne formule:
Poissonove zagrade bez koordinata
Neka je simplektička mnogostrukost, tj. mnogostrukost opremljena simplektičkom formom: 2-formom koja je i zatvorena (tj. njezina vanjska derivacija nestaje) i nedegenerirana:
Poissonova zagrada na simplektičkoj mnogostrukosti može se definirati pomoću vanjske derivacije i kontrakcije s vektorskim poljima. Za glatke funkcije , vrijedi:
Ova jednakost povezuje vanjsku derivaciju funkcije primijenjenu na Hamiltonovo vektorsko polje s vrijednosti simplektičke forme na paru , pri čemu desni izraz definira Poissonovu zagradu.
Hamiltonovo vektorsko polje Hamiltoniana
Simplektička struktura omogućuje definiranje Hamiltonovih jednadžbi na geometrijski način.
Ako je simplektska mnogostrukost, a glatka funkcija (Hamiltonijan), tada se Hamiltonovo vektorsko polje u lokalnim Darbouxovim koordinatama definira kao:
Nakon uvrštavanja proizvoljne glatke funkcije dobije se:
gdje je zadnja jednakost definicija Poissonovih zagrada.
Ekvivalentna, apstraktnija definicija Hamiltonovog vektorskog polja koja ne ovisi o koordinatama glasi gdje je proizvoljna funkcija na simplektskoj mnogostrukosti .
U slučaju kada je , odnosno kada predstavlja Hamiltonijan sustava, pridruženo vektorsko polje opisuje njegovu dinamiku sustava:
.
Hamiltonove kanonske jednadžbe se mogu zapisati kao:
.
Ova jednadžba ima snažnu geometrijsku interpretaciju. Opisuje kako evoluira (teče u vremenu) prateći tok Hamiltonovog vektorskog polja definiranog Hamiltonovom funkcijom .Azeddine, Z. (2022). Introduction to symplectic mechanics. HAL Open Archive. https://hal.science/hal-03611773v1/document
Hamiltonovo vektorsko polje je u svakoj točki tangencijalno na trajektorije čestice u faznom prostoru. Integralne krivulje (trajektorije) toga vektorskog polja zadovoljavaju: i upravo su to rješenja Hamiltonovih jednadžbi. Integralne krivulje Hamiltonovog vektorskog polja rješenja jednadžbi gibanja.
Jednadžba evolucije
Vremenska derivacija observable u geometrijskoj mehanici može se onda izraziti na više ekvivalentnih načina:Abraham, R.; Marsden, J. E. (1978). Foundations of Mechanics, Benjamin-Cummings. Poglavlje 3.2.Frankel, T. (2011). The Geometry of Physics, Cambridge University Press, 3. izd.
Ovdje su:
Hamiltonovo vektorsko polje Hamiltonijana koje djeluje na observablu i interiorni produkti (kontrakcije) simplektične forme , vanjska derivacija , Liejeva derivacija funkcije duž vektorskog polja , adjungirano djelovanje, Poissonova zagrada
Liouvilleov teorem
Liouvilleov teorem, nazvan po francuskom matematičaru Josephu Liouvilleu, ključni je teorem u klasičnoj statističkoj mehanici i Hamiltonovoj mehanici. Ako se uzme ansambl početnih uvjeta, ukupni volumen (u ovom slučaju površina) koji omeđuje te točke ostaje konstantan u vremenu po svojem iznosu, makar može mijenjati svoj oblik.Harald J. W. Müller-Kirsten, Basics of Statistical Physics, 2nd ed., World Scientific (Singapore, 2013)
Odnosno, preslikavanja iz jednog vremnskog trenutka u drugi su kanonske transformacije.Lurie, Anatolii I. (2002). Analytical Mechanics (1st ed.). Springer-Verlag Berlin. ISBN 978-3-642-53650-2.
Razmotrimo Hamiltonov sustav s kanonskim koordinatama i konjugiranim momentima , gdje je . Tada raspodjela faznog prostora određuje vjerojatnost da će se sustav naći u infinitezimalnom volumenu faznog prostora u trenutku .
Liouvilleova jednadžba je
Vremenske derivacije označene su točkama i izračunavaju se prema Hamiltonovim jednadžbama za sustav. Ova jednadžba pokazuje očuvanje gustoće u faznom prostoru.
Liouvilleov teorem kaže da:
"Funkcija distribucije je konstantna duž bilo koje putanje u faznom prostoru."
Liouvilleov teorem se može izraziti pomoću simplektičke geometrije. U ovom formalizmu, Liouvilleov teorem tvrdi da je Lieva derivacija volumenskog oblika jednak nuli duž toka generiranog s . To jest, za 2n-dimenzionalnu simplektičku mnogostrukost vrijedi:http://olivernash.org/2015/01/08/liouvilles-theorem-for-pedants/notes.pdf
Kontaktna geometrija
Kontaktna geometrija je je grana diferencijalne geometrije koja proučava kontaktne mnogostrukosti, što su -dimenzionalne raznovrsnosti opremljene kontaktnom formom — diferencijalnom 1-formom koja zadovoljava uvjet:
.
na svakoj točki mnogostrukosti. Taj uvjet osigurava da je maksimalno neintegrabilna, što je osnovna razlika u odnosu na simplektsku geometriju, koja se temelji na zatvorenim 2-formama.
Euler-Arnoldova jednadžba Neka je geodetski tok na koji koristi desno-invarijantnu metriku definiranu iznad, i neka je
intrinzični vektor brzine. Tada zadovoljava jednadžbu:
Operator je definiran pomoću dualnosti:
gdje je desno-invarijantni skalarni produkt na Liejevoj algebri . Operator je parcijalni adjungirani operator Liejeve zagrade.
Bilješke
Izvori
Vanjske poveznice The Euler-Arnold equation
Kategorija:Klasična mehanika Kategorija:Dinamički sustavi Kategorija:Lagrangeova mehanika