thumb|A szürreális számok fa szerkezetű megjelenítése A szürreális számok olyan számrendszert, illetve lineáris kontinuumot alkotnak, amely tartalmazza a valós számokat, valamint végtelen és infinitezimális mennyiségeket is. Bármely valós szám szürreális számokkal van körülvéve, amelyek közelebb vannak hozzá minden valós számnál. Ebben hasonlítanak a hiperreális számokra, de konstrukciójukban különböznek, viszont tartalmazzák a hiperreális számokat is. A valós számokon szokásos alapműveletek és rendezés kiterjeszthető rájuk.
A szürreális számokat John Horton Conway brit matematikus konstruálta meg, és Donald Knuth amerikai számítástudós tette közismertté Számok valóson innen és túl című könyvével; az elnevezés is Knuthtól származik. Conway eredetileg csak számoknak nevezte őket. Ez a könyv nem szakkönyv, hanem párbeszédes regény. A szürreális elnevezés francia eredetű, jelentése: valóságon túli. Az elnevezés Conwaynek is tetszett, és átvette. Leírta a szürreális számokat, és játékok, többek között a go elemzésére használta On Numbers and Games (1976) című könyvében.
Motiváció A szürreális számok több szempontból is érdekesek. Két egyszerű művelettel keletkeznek a semmiből, azonban tulajdonságaikban hasonlítanak a valós számokra. Segítenek bebizonyítani a valós számok alapvető tulajdonságait is, például , vagy ha , akkor . Lehetőséget adnak az absztrakt algebra módszereinek gyakorlására is. Conway a játékok elemzésére is felhasználta a számkört.
Mindezek mellett a szürreális számok a nem standard analízis számára is modellt alkotnak, amiben infinitezimális számok léteznek. Mielőtt azonban definiálnánk őket, tisztában kell lennünk azzal, hogy a konstrukciót halmazelméleti eszközökkel végezzük, tehát nem számtani műveletekkel.
Konstrukció A szürreális számok konstrukciója a Dedekind-szeletekére hasonlít. A szám megadásához két halmazt kell definiálni, amelyek közül az egyik a kisebb, a másik a nagyobb számokat tartalmazza; ezeket a továbbiakban rendre L és R jelöli. A számot ez a két halmaz határozza meg, jelölése L | R. A két halmaznak csak azt a kikötést kell teljesítenie, hogy L összes elemének kisebbnek kell lennie R minden eleménél. Például a konstrukció érvényes 2 és 5 közötti számot ad; hogy melyiket, azt majd később meglátjuk. Ezek a halmazok üresek is lehetnek. Az értelmezése: egy szám, ami L minden eleménél nagyobb, és hasonlóan, jelentése: egy szám, ami R minden eleménél kisebb. A konstrukció rekurzívvá tevéséhez először a rendezést kell kiterjeszteni. Konstrukciós és összehasonlítási szabály Konstrukciós szabály: Legyenek L és R szürreális számokból alkotott halmazok. Ha az L és az R halmazokra teljesül, hogy R egy eleme sem kisebb vagy egyenlő, mint L elemei, akkor a halmazpár szürreális számot definiál.
Rendezési szabály: Az és az szürreális számokra akkor teljesül , ha kisebb egyenlő, mint bármely eleme -nek, és egy eleme sem kisebb egyenlő, mint .
A jelölés egyszerűsítésére elhagyjuk a halmazok zárójeleit, és az üres halmazokat. Így például ugyanaz, mint , illetve megegyezik az szürreális számmal. A kisebb-egyenlő szabályt teljesítő objektumot jólformáltnak is nevezik, hogy megkülönböztessék a nem jólformált objektumokról, amikről később a játékok kapcsán lesz szó. Relációk A szürreális számok megfelelő relációkkal teljesen rendezhetők. Azonban a fent bevezetett reláció még nem antiszimmetrikus, csak a reflexív és a tranzitív tulajdonságokat teljesíti. Ez azt jelenti, hogy abból, hogy és hogy , nem következik, hogy . Ezen lehet segíteni az == reláció bevezetésével:
Legyen , ha és
Ez egy ekvivalenciareláció, aminek osztályai teljesen rendezettek. Ha x és y ugyanahhoz az ekvivalenciaosztályhoz tartozik, akkor ugyanazt a szürreális számot jelölik. Az x ekvivalenciaosztályát [x] jelöli, ahol x az ekvivalenciaosztályt reprezentálja. Ez az eljárás hasonló a törtek hányadosként való bevezetéséhez, vagy a valós számok Cauchy-sorozatokkal való definiálásához. Példák Az első példa a két üres halmazzal definiált szürreális szám, mégpedig: . Ez megfelel a konstrukciós szabálynak, mivel az üres halmazok nem tartalmaznak elemeket, amelyek megsértik a konstrukciós szabályt. Ezt a számot jelöli, és ekvivalenciaosztályát egyszerűen úgy írjuk, hogy 0. Az összehasonlítás szabálya szerint .
A konstrukciós szabály alapján kapjuk a következő számokat: és
Az utolsó szám nem jólformált a szabály miatt. Tehát az eddigi számok így rendezhetők:
Itt azt jelenti, hogy nem teljesül . Ezeket az új számokat így jelöljük: és és ekvivalenciaosztályaikat és . Mivel az ekvivalenciaosztályok eddig csak egy elemet tartalmaznak, a rendezés írható, mint .
Még egyszer alkalmazva a konstrukciót az eddigi számokra a nem jólformáltak mellett a következő jólformáltakat kapjuk:
A következő megfigyeléseket tehetjük: Négy új ekvivalenciaosztályunk van, , , és Mindegyik osztály egynél több elemet tartalmaz A szürreális szám értéke csak a legnagyobb bal és a legkisebb jobb elemtől függ.
Az első megfigyelés azt a kérdést veti fel, hogy hogyan értelmezzük az új osztályokat. Mivel kisebb, mint a , azért ez tekinthető a számnak; ennek ekvivalenciaosztálya . Hasonlóan, az számot -nek nevezzük; a és a között van, ezért azonosítjuk a számmal, és hasonlóan lesz az . Tehát az új ekvivalenciaosztályokat , , és jelöli. A szorzás és az összeadás bevezetése után ezt majd még jobban fogjuk látni.
A második megfigyelés ahhoz a kérdéshez vezet, hogy továbbra is azonosíthatjuk-e a szürreális számokat ekvivalenciaosztályukkal. A válasz igenlő, mivel:
Ha és , akkor .
Itt az elemeinek ekvivalenciaosztályaiból alkotott halmaz. Így a fentieket írhatjuk úgy is, mint:
vagy rövidebben:
.
A harmadik megfigyelés szerint tetszőleges szürreális szám általánosítható véges jobb és bal halmazával. Így az szürreális szám megegyezik a szürreális számmal. Az elemeket megadó halmazok végtelenek is lehetnek, ezért ebben az esetben nem biztos, hogy van legnagyobb vagy legkisebb elem. Műveletek A szürreális számokon végzett műveleteket így definiálják:
Összeadás
Ellentett
Szorzás .
ahol a az operátorok halmazelméleti kiterjesztései, például ,
és
Ezek a műveletek jóldefiniáltak abban az értelemben, hogy nem vezetnek ki a jóldefiniált szürreális számok halmazából. Megállapítható, hogy a fenti jelölések megfelelnek várakozásainknak, ugyanis , , és . (Ügyeljünk a különbségre: az egyenlőség, és az ekvivalencia!)
A műveletek átvihetők az ekvivalenciaosztályokra, ugyanis
és miatt és és .
jóldefinált műveletek az ekvivalenciaosztályokkal. Végül belátható, hogy az ekvivalenciaosztályokon végezhető műveletek bírnak azokkal a tulajdonságokkal, amiket elvárunk az összeadástól, az ellentettképzéstől és a szorzástól.
Az ekvivalenciaosztályok a rendezéssel és a műveletekkel teljesítik a rendezett test tulajdonságait, de mivel nem alkotnak halmazt, ezért ez nem rendezett test.
A következőkben nem különböztetjük meg egymástól az ekvivalenciaosztályokat és a szürreális számokat. Generálás teljes indukcióval Eddig nem vizsgáltuk részletesen, hogy milyen számok kaphatók meg a konstrukciós szabállyal, és melyek nem. Azokkal a számokkal kezdünk, amelyek véges sok lépésben megkaphatók. Induktívan definiáljuk az halmazokat minden természetes számra:
az halmazhoz hozzávesszük azokat a szürreális számokat, amelyek egy lépésben konstruálhatók részhalmazaiból.
Az összes, valamelyik halmazban megtalálható szürreális szám halmazát -nak nevezzük. Az első néhány halmaz a következő:
Ez alapján észrevehetjük a következőket: Egész számok: a maximum mindig eggyel nő, a minimum eggyel csökken. Törtek: minden eddigi szomszédos szám között megjelenik egy új szám.
Eszerint minden diadikus törtet megkapunk, vagyis azokat a törteket, amelyek alakúak, ahol a és b egészek. Más törtek azonban nincsenek -ban.
A végtelenig, és azon is túl Miután már megkaptuk az halmazt, tovább folytathatjuk a generálást. Így kapjuk az , halmazokat, amelyek most mindkét oldalon végtelen számú elemet tartalmaznak. Transzfinit indukcióval minden a rendszámhoz definiálhatunk Sa halmazt.
A szürreális szám születésnapjának nevezzük azt az a rendszámot, amire Sa tartalmazza a szürreális számot, de egyetlen kisebb rendszámú halmazban sincs benne a szürreális szám. Például a 0 születésnapja 0, az 1/2 születésnapja 2.
Megmutatható, hogy a legöregebb szürreális számot határozza meg a és b között. A fent megadott szám egyenlő a számmal, és a legöregebb szám és között a 3.
Már az -ben találhatunk törteket, amelyek nem voltak jelen -ban. Például . A definíció korrektségét mutatja, hogy: .
Az tartalmazza az összes valós számot. Ezt az intervallumok skatulyázása mutatja meg, amivel minden egyes valós szám egyértelműen előáll. Az már tartalmazza a alakú számokat. Ezekkel a számokkal mint határpontokkal már minden valós szám skatulyázható. A kisebb végpontokat felvesszük a bal, a nagyobb végpontokat a jobb halmazba, és ezzel már meg is adtuk a valós számot.
De más számokat is tartalmaz, például a következő infinitezinális számot: . Könnyű látni, hogy ez a szám pozitív, de minden pozitív törtnél kisebb. A szürreális számok között nem ez az egyedüli infinitezimális szám, hiszen: , . amelyeket az tartalmaz.
Emellett végtelen nagy számok is találhatók már -ben, mint például . Ez a szám nagyobb, mint minden eleme, többek között mint minden egész szám. Megfelel az -nak, ami címkéje. Ekvivalensen, . Minden rendszám megjelenik a szürreális számok között.
Mivel az összeadás és a szorzás minden szürreális számra definiálva van, az szürreális számmal ugyanúgy számolhatunk, mint a többivel: és .
Ez nagyobb tagokra is teljesül: , , ,
és még magával az szürreális számmal:
ahol mint fent.
Ahogy nagyobb, mint , az kisebb, mint , mivel
ahol .
Végül megtaláljuk az összefüggést és között, hiszen .
Ügyelni kell arra, hogy ebben a számkörben másként viselkednek a rendszámok, mint egyébként: rendszámként , míg szürreális számként .
A szürreális számok konstrukciójával annyi szám konstruálható, hogy nincs halmaz, ami befogadná az összest; a szürreális számok valódi osztályt alkotnak, ezért nem alkotnak rendezett testet sem.
Mivel minden szürreális szám megalkotható nála öregebb szürreális számokból, használható a transzfinit rekurzió elve. Ehhez azt kell megmutatni, hogy ha egy tulajdonság teljesül és elemeire, akkor az szürreális számra is teljesül.
Alternatív definíciók Előjelfüggvények Egy alternatív értelmezésben a szürreális számok a rendszámokból a { −1, +1 } halmazba képező függvények. Két ilyen függvény közül x egyszerűbb, mint y, ha x leszűkítése y-nak, vagyis minden olyan helyen, ahol x értelmezve van, ott y is értelmezve van, és értékeik megegyeznek.
A szürreális számok értelmezéséhez az értelmezési tartományon kívüli elemeket -1-nél nagyobbnak és 1-nél kisebbnek tekintjük. Így x < y, ha ezek közül valamelyik teljesül: x egyszerűbb, mint y, és y(dom(x)) = + 1; y egyszerűbb, mint x, és 'x(dom(y)) = − 1; van egy z, hogy z egyszerűbb, mint x és y, és x(dom(z)) = − 1 és y(dom(z)) = + 1.
Ekvivalensen, legyen δ(x,y) = min({ dom(x), dom(y)} ∪ { α : α < dom(x) ∧ α < dom(y) ∧ x(α) ≠ y(α) }), úgy, hogyx = y akkor és csak akkor, ha δ(x,y) = dom(x) = dom(y). Ekkor az x és y számokra x < y akkor és csak aklkor teljesül, ha: δ(x,y) = dom(x) ∧ δ(x,y) < dom(y) ∧ y(δ(x,y)) = + 1; δ(x,y) < dom(x) ∧ δ(x,y) = dom(y) ∧ x(δ(x,y)) = − 1; δ(x,y) < dom(x) ∧ δ(x,y) < dom(y) ∧ x(δ(x,y)) = − 1 ∧ y(δ(x,y)) = + 1.
Az x és y számokra x ≤ y akkor és csak akkor, ha x < y ∨ x = y, és x > y akkor és csak akkor, ha y < x. Tehát x ≥ y akkor és csak akkor, ha y ≤ x.
Az így bevezetett < reláció tranzitív, és trikhotómia is teljesül, azaz akárhogy választjuk az x, y számokat, x < y, x = y, vagy x > y valamelyike fennáll. Ez azt jelenti, hogy < teljes rendezés (egy valódi osztályon).
Az L és R halmazokra, ha ∀x ∈ L ∀y ∈ R (x < y), akkor egyértelműen van egy z szám, hogy ∀x ∈ L (x < z) ∧ ∀y ∈ R (z < y),