A valószínűségi változó a valószínűségszámítás egyik legfontosabb fogalma. Lényegében olyan jelenségek matematikai megfogalmazására, modellezésére alkalmas, melyek véletlentől függő értéket vesznek fel.Norbert Henze: Stochastik für Einsteiger: Eine Einführung in die faszinierende Welt des Zufalls. Vieweg+Teubner Verlag, 2010, , , S. 12. Ilyen lehet például egy kockadobás eredménye, egy folyó vízállása vagy az utcán szembe jövő emberek testmagassága. Formálisan, a valószínűségi változó egy kimenetelt jellemez, nem feltétlenül számszerűen. Nem számszerű véletlen változó lehet mozgásirány, permutáció vagy gráf is, vagy akármilyen más matematikai objektum. Egy kimenetelhez különféle valószínűségi változó rendelhető, amit realizációnak, sztochasztikus folyamat esetén útnak neveznek.
Bár a valószínűségi változó szemléletes jelentése viszonylag könnyen megragadható, a precíz matematikai meghatározás a huszadik századig váratott magára, és egészen komoly függvénytani illetve mértékelméleti eszközöket használ fel.
Matematikai definíció
Az valószínűségi mező eseményterén értelmezett valós értékű függvény pontosan akkor valószínűségi változó, ha Karl Hinderer: Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie. Springer, Berlin 1980, (nicht überprüft)
A mértékelmélet kifejezéseivel élve ez úgy fogalmazható meg, hogy ha a valószínűségi mezőt mint mértékteret tekintjük, akkor a valószínűségi változók pontosan az A-mérhető függvények.
Tulajdonképp a definíció azt követeli meg, hogy úgy rendeljünk számokat az eseménytér elemeihez – azaz az elemi eseményekhez – hogy az így kapott függvény „jól viselkedjen” a valószínűségi mérték szerinti integrálás szempontjából. Ez a követelmény ahhoz kell, hogy a valószínűségi változó viselkedésének leírásában, vizsgálatában lehessen kamatoztatni a függvénytan olyan eszközeit, mint az integrál- vagy a differenciálszámítás. A definíció egyenes következménye, hogy a valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a megszokott módon definiálható. Megjegyzések Általában csak szövegesen adják meg a konkrét adatokat, vagy alapértelmezettnek vesznek néhány dolgot (például: véges esetben szimmetria, az eseményalgebra a hatványhalmaz; folytonos eset: események a Borel-halmazok).
Diszkrét esetben, ha az eseményalgebra a hatványhalmaz, akkor minden függvény mérhető, ezért a mérhetőséggel nem kell foglalkozni. Folytonos esetben azonban már kell a mérhetőséget vizsgálni.
Egyes speciális eseteket mértékelméleti definíció helyett másként is be lehet vezetni. Valós valószínűségi változók Valós valószínűségi változók esetén az eseménytér , események a Borel-halmazok. Ezzel az általános definíció így alakul: A valós valószínűségi változó egy függvény, ami minden kimeneteléhez hozzárendel egy valós számot, továbbá teljesíti a mérhetőségi kikötést:
Szavakkal, ez azt fejezi ki, hogy azoknak a kimeneteleknek a halmaza, amelyek realizációja egy érték alá esik, esemény.
A példában ilyen a két kockával dobás , és valószínűségi változó. Valószínűségi vektorváltozók Egy valószínűségi vektorváltozó egy leképezés, ahol dimenzió. Ekkor koordinátái valószínűségi változók, amelyek ugyanazon az eseménytéren vannak definiálva. Ekkor eloszlása többdimenziós, és az koordináták eloszlása peremeloszlás. A várható érték és a szórásnégyzet (vigyázat, nem szórás!) megfelelői többdimenziós eloszlás esetén a várható értékek vektora és a kovarianciamátrix.
A példában kétdimenziós eloszlású valószínűségi változó.
A valószínűségi vektorváltozók nem tévesztendők össze a valószínűségi vektorral. A valószínűségi vektorok adott esetén elemű halmaz elemei közötti átmenetek valószínűségeit írják le; elemei, minden koordinátájuk pozitív, és összegük 1.
Komplex valószínűségi változók A komplex eset nem különbözik lényegesen a valós kétdimenziós esettől. A képtér , ezen az események a és kanonikus megfeleltetésből adódó Borel-halmazok. komplex valószínűségi változó, ha és is valós valószínűségi változó.
Példák
Pénzfeldobás A pénzfeldobást leíró valószínűségi változó valószínűségi mezeje a következő: az eseménytér a fej és az írás elemekből áll: , az események σ-algebrája az összes részhalmazából (vagyis az hatványhalmazából) áll:
a valószínűségi mérték a következő:
Ekkor valószínűségi változó például a következő függvény:
Ez a valószínűségi változó az 1 értéket veszi fel, ha fejet dobunk és a 2 értéket, ha írást.
Kockadobás Hasonlóan a kockadobást leíró valószínűségi változó valószínűségi mezeje a következő: az eseménytér 6 elemből áll, az egyes dobásból, a kettes dobásból, ... a hatos dobásból az események σ-algebrája most is az összes részhalmazából áll, a valószínűségi mérték most a következő: bármely esetén
vagyis a minden elemi eseményhez 1/6 valószínűséget rendel, és az olyan eseményekhez, melyek elemi eseményt tartalmaznak, -ot.
A kockadobást leíró valószínűségi változót kapunk a következő függvénnyel: olyan, hogy az "egyes dobás" elemi eseményéhez az 1-es számot, a "kettes dobás" elemi eseményéhez a 2-es számot stb. a "hatos dobás" elemi eseményéhez a 6-os számot rendeli.
Ez a valószínűségi változó mindig azt az egész számot veszi fel, amit dobtunk. Azt is lehet látni, hogy ha nem pont az {1, 2, 3, 4, 5, 6} halmaz lenne az értékkészlete X-nek, hanem például a {2, 4, 6, 8, 10, 12} akkor is a kockadobás véletlen kimeneteit modellezné csak más értékekkel. Dobás két kockával thumb|Két kockán dobott számok összege: Két, egymástól megkülönböztethető kockával való dobás modellezhető a következő valószínűségi térrel: a 36 kimenetel: az hatványhalmaza Ha feltesszük, hogy a kockák szabályosak, akkor az összes kimenetel valószínűsége ugyanaz. Ekkor a valószínűségi mérték ha .
A következőkben az az első, a második kockával dobott szám, pedig az összegük. Ezek definíciója a következő:
és
ahol a valós számokon értelmezett Borel-algebra. Eloszlás A valószínűségi változóhoz kapcsolódik a képtéren indukált valószínűségi eloszlás. A két fogalmat szinonímaként is használják. Formálisan, ha valószínűségi változó, akkor eloszlását mint a valószínűség képmértékét értelmezik, azaz minden esetén, ahol az valószínűségi változó képterében adott σ-algebra is. A jelölés mellett előfordul és is.
Például ha normális eloszlású valószínűségi változóról van szó, akkor azzal egy valós értékű valószínűségi változóra gondolnak, aminek eloszlása egy normális eloszlásnak felel meg.
A valószínűségi tulajdonságok kifejezhetők csak a valószínűségi változók közös eloszlása alapján. Nem szükséges ehhez ismerni a valószínűségi mezőt, amin a valószínűségi változók definiálva vannak.
Gyakran eloszlás- vagy sűrűségfüggvényükkel adják meg a valószínűségi változókat, háttérben hagyva a valószínűségi mezőt. Ez a felfogás megengedett a matematikában, mindaddig, amíg valóban létezik az adott eloszláshoz valószínűségi mező. Azonban a konkrét eloszlás ismeretében konstruálható valószínűségi mező, ahol , a Borel-halmazok σ-algebrája, és az eloszlásfüggvény által generált Lebesgue-Stieltjes-mérték. A valószínűségi változó az identikus leképezés: .Robert B. Ash: Real Analysis and Probability. Academic Press, New York 1972, , Definition 5.6.2.
Több, de véges sok valószínűségi változó esetén is elég a közös eloszlásfüggvényt megadni, a valószínűségi mezőt háttérben hagyva. Megszámlálható végtelen sereget megadva elég véges halmazok közös eloszlásfüggvényeit megadni. Maga a valószínűségi mező kevésbé kérdéses, mint az, hogy létezik-e közös valószínűségi mező megszámlálható végtelen esetben. Független esetben a kérdést Émile Borel oldotta meg, az egységintervallum és a Lebesgue-mérték felhasználásával. Egy lehetséges bizonyítás a kettes számrendszerben írt számok kettedesjegyeit egymásba skatulyázott Bernoulli-folyamatoknak tekinti (a Hilbert-hotelhez hasonlóan).Olav Kallenberg: Foundations of Modern Probability. 2. Ausgabe. Springer, New York 2002, , S. 55.
Az eloszlás a valószínűségi változó egyik legfontosabb függvénye, ami arról tájékoztat, hogy az milyen értéket milyen valószínűséggel vesz fel, vagy hogy egy megadott intervallumba esésnek mekkora a valószínűsége, például hogy kockával legfeljebb négyest dobunk.
Folytonos valószínűségi változó esetén a sűrűségfüggvény megkönnyíti annak kiszámítását, hogy mekkora annak a valószínűsége, hogy a változó egy adott intervallumba esik. További jellemző értékek a várható érték, a szórás és a magasabb rendű momentumok.
A valószínűségi változók két nagy osztálya
A valószínűségi változók két leggyakrabban emlegetett fajtája a diszkrét és a folytonos valószínűségi változó. Szemléletesen a diszkrét valószínűségi változó olyan, ami elkülönült értékeket tud csak felvenni, a folytonos pedig olyan, ami – legalább egy intervallumon – bármilyen értéket felvehet. Diszkrét valószínűségi változó például az, ami egy kockadobás eredményét írja le, vagy azt, hogy egy üzletbe következőnek betoppanó 8 vendég közül hány férfi. Ezzel szemben folytonosnak tekinthető az a valószínűségi változó, ami azt írja le, hogy az ugyanebbe az üzletbe betoppanó következő vevő milyen magas, vagy hogy egy fáról leszüretelt őszibarack mekkora súlyú, hisz ezek a változók – legalábbis egy intervallumon – akármilyen értéket felvehetnek. (Ez a bekezdés csak szemlélteti a folytonos valószínűségi változók fogalmát, és nem teljesen pontos. A precíz matematikai meghatározás a bekezdés alján megadott szócikkben található.) A konstans valószínűségi változó is diszkrét (elfajult eloszlású): minden esetén.
Fontos megjegyezni, hogy nem csak diszkrét és folytonos valószínűségi változók vannak, tehát ez a két osztály nem adja a valószínűségi változók osztályának partícióját. Se nem folytonos, se nem diszkrét például az a valószínűségi változó, ami a következő kísérletet írja le: feldobunk egy pénzérmét, ha az eredmény fej, akkor a valószínűségi változó értéke legyen 2 ha írás, akkor a valószínűségi változó vegyen fel egy számot véletlenszerűen a [0,1] intervallumon (egyenletes eloszlás szerint).
A folytonos és a diszkrét valószínűségi változókat azért érdemes elkülöníteni a valószínűségi változók nagy osztályából, mert ez a két osztály sok szempontból nagyon jól – és egymástól nagyon eltérően – viselkedik. A várható érték kiszámítására például a diszkrét valószínűségi változók esetében speciális és könnyen számolható képlet adódik, sűrűségfüggvénye pedig csak folytonos valószínűségi változónak lehet.
A pontos matematikai definíciókat az alábbi szócikkek tartalmazzák: folytonos valószínűségi változó diszkrét valószínűségi változó
Valószínűségi változó további tulajdonságai Folytonosság Egy valószínűségi változót több okból nevezhetnek folytonosnak. Ha van sűrűségfüggvénye. Ez azt jelenti, hogy eloszlásfüggvénye abszolút folytonos a Lebesgue-mérték szerint.Marek Fisz: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 11. Auflage. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1989, Definition 2.3.3. Ha eloszlásfüggvénye folytonos.Robert B. Ash: Real Analysis and Probability. Academic Press, New York 1972, , S. 210. Ez azt jelenti, hogy minden valószínűsége nulla, Mérhetőség Ha valószínűségi változó az eseménytéren, és adva van a mérhető függvény, akkor is valószínűségi változó az eseménytéren, mivel mérhető függvények kompozíciója szintén mérhető. A függvényt transzformációjának nevezik.
Ekkor eloszlásfüggvénye .
Az valószínűségi mezőn értelmezett valószínűségi változó várható értéke: .
Integrálhatóság és kvázi-integrálhatóság Egy valószínűségi változó integrálható, ha várható értéke létezik és véges. Kvázi-integrálható, ha van várható értéke, de ennek nem kell végesnek lennie. Az integrálható változó kvázi-integrálható is. Példa a transzformációra Legyen valós, folytonos eloszlású valószínűségi változó, és . Ekkor
Esetszétválasztás szerint:
Standardizálás Egy valószínűségi változó standardizált, ha várható értéke 0 és szórása 1. Egy valószínűségi változó standardizáltja:
Ez az valószínűségi változót standard valószínűségi változóvá való transzformálása. Egyebek