In geometria piana, il teorema della mediana è un teorema che lega la lunghezza della mediana in un triangolo alle lunghezze dei tre lati. È attribuito ad Apollonio. La sua dimostrazione si può ricondurre alla legge del coseno o teorema di Carnot.
Enunciato In un triangolo il doppio del quadrato della mediana relativa ad un lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati diminuito della metà del quadrato del primo lato. In altri termini, con riferimento al triangolo vale l'identità:
dove è il punto medio di .
Prima dimostrazione frame Ponendo:
Si ha:
Elevando al quadrato scalare i membri delle ultime uguaglianze si ha:
Sviluppando i calcoli si ottiene:
Successivamente sommando membro a membro:
e infine:
Seconda dimostrazione Ponendo
applicando, ora, il teorema del coseno ai triangoli e , si ha:
Sommando quindi membro a membro le ultime uguaglianze si perviene all'identità richiesta.
Applicazione Un'applicazione diretta del teorema della mediana riguarda una proprietà intrinseca a tutti i triangoli.
Siano e i lati opposti rispettivamente ai vertici e di un triangolo. Siano e le mediane relative rispettivamente ai lati e . Dal teorema delle mediane, vale quanto segue
In particolare, la somma dei quadrati delle mediane risulta
In conclusione, il rapporto tra la somma dei quadrati delle mediane e la somma dei quadrati dei lati è una costante, ossia
Note
Categoria:Geometria del triangolo Mediana Categoria:Trigonometria