Il Triangolo di Hosoya è una disposizione triangolare di numeri naturali basata sulla successione di Fibonacci, in modo simile al Triangolo di Pascal. Ogni elemento è pari alla somma dei due precedenti lungo la diagonale destra e anche dei due precedenti lungo la diagonale sinistra, che idealmente passano attraverso il numero considerato. Le prime righe sono le seguenti:
1 1 1 2 1 2 3 2 2 3 5 3 4 3 5 8 5 6 6 5 8 13 8 10 9 10 8 13 21 13 16 15 15 16 13 21 34 21 26 24 25 24 26 21 34 55 34 42 39 40 40 39 42 34 55 89 55 68 63 65 64 65 63 68 55 89 144 89 110 102 105 104 104 105 102 110 89 144 etc. La successione è descritta nel progetto OEIS dalla sequenza identificata dal codice A058071.
Il nome Il nome di Triangolo di Fibonacci risulta ambiguo in quanto fu già utilizzato anche per le costruzioni proposte da Wilson nel '98 e da Yuan nel '99. Per tale motivo, si è preferito il nome di Triangolo di Hosoya, che deriva dal suo ideatore, il chimico e matematico giapponese Haruo Hosoya, che lo propose per primo nel 1976.
Costruzione Ogni numero del triangolo soddisfa la relazione di ricorrenza: H(0, 0) = H(1, 0) = H(1, 1) = H(2, 1) = 1 e H(n, j) = H(n − 1, j) + H(n − 2, j)
= H(n − 1, j − 1) + H(n − 2, j − 2).
Inoltre, ogni numero H di Hosoya soddisfa la seguente relazione rispetto alla successione di Fibonacci F: H(n, i) = F(i + 1) × F(n − i + 1). Pertanto, le due diagonali più esterne sono i numeri di Fibonacci, mentre i numeri disposti lungo la linea verticale centrale sono i loro quadrati. Tutti gli altri numeri nel triangolo sono il prodotto di due distinti numeri di Fibonacci maggiori di 1. Le somme delle righe sono pari alla convoluzione dei numeri di Fibonacci.Al riguardo, si può consultare anche la voce Generalizations of Fibonacci numbers presente nella Wikipedia in inglese.
Note
Bibliografia Haruo Hosoya (1976), "Fibonacci Triangle", The Fibonacci Quarterly, vol. 14, no. 2, pp. 173–178. Thomas Koshy (2001), Fibonacci and Lucas Numbers and Applications, pp. 187–195. New York: Wiley. Brad Wilson (1998), "The Fibonacci triangle modulo p". The Fibonacci Quarterly, vol. 36, no. 3, pp. 194–203. Ming Hao Yuan (1999), "A result on a conjecture concerning the Fibonacci triangle when k=4." (In Chinese.) Journal of Huanggang Normal University, vol. 19, no. 4, pp. 19–23.
Voci correlate Successione di Fibonacci Convoluzione Triangolo di Pascal Haruo Hosoya
Categoria:Combinatoria Categoria:Successioni di interi Categoria:Leonardo Fibonacci