il teorema di Kato-Rellich è un risultato di teoria degli operatori che trova ampia applicazione nella meccanica quantistica. Tale teorema dimostra che la somma di un operatore autoaggiunto e un operatore simmetrico, sotto opportune ipotesi, è un operatore autoaggiunto. Raramente questo risultato viene applicato per generare nuovi operatori autoaggiunti, piuttosto viene impiegato per dimostrare l'autoaggiuntezza di un operatore decomponendolo nella somma di due operatori che sono o noti o comunque più semplici da studiare.
Teorema (Kato-Rellich) Siano e due operatori definiti rispettivamente nei domini e . Si dice che è -limitato se il dominio di è un sottoinsieme del domino di , , ed esistono due costanti positive tali che .
Enunciato Sia un operatore (essenzialmente) autoaggiunto e sia un operatore simmetrico, A-limitato con . Allora, è (essenzialmente) autoaggiunto sul dominio ..
Applicazioni Grazie al teorema di Kato-Rellich si può dimostrare quanto segue:
Teorema Sia fissato e sia con l'operatore di moltiplicazione per la funzione , dove se , se e se , e l'operatore di moltiplicazione per la funzione . Allora vale:
è essenzialmente autoaggiunto sullo spazio delle funzioni test e sullo spazio di schwartz ; l'unica estensione autoaggiunta è l'operatore sul dominio ; lo spettro è limitato dal basso.
Questo teorema è importante in meccanica quantistica in quanto permette di dimostrare in maniera semplice l'autoaggiunzione di molti operatori hamiltoniani quantistici in quanto essi sono della forma
Note
Bibliografia
Valter Moretti, Spectral Theory and Quantum mechanics 2nd English edition. Springer Science & Business Media, 2017.
Voci correlate
Meccanica quantistica Teoria degli operatori Operatore autoaggiunto
Categoria:Teoria degli operatori