Carriera Club Skjærvik è cresciuto nelle giovanili del , prima di entrare a far parte di quelle del . Con quest'ultimo club, ha esordito in prima squadra in data 17 aprile 2017, in 3. divisjon: è stato titolare nella sconfitta interna per 1-3 subita contro il Frigg. Il 30 aprile successivo ha trovato il primo gol con questa casacca, nel 5-0 sul . Al termine di quella stessa annata, il Lillehammer è retrocesso in 4. divisjon.
In vista della stagione 2020, Skjærvik è stato tesserato dall'HamKam, compagine all'epoca militante in 1. divisjon. Ha esordito con la nuova maglia il 20 luglio 2020, quando è stato titolare nella sconfitta per 3-2 in casa del Jerv. Ha trovato la prima rete in squadra in data 29 agosto 2021, nel successo per 3-2 arrivato sullo Start. In quella stessa stagione, l'HamKam ha centrato la promozione in Eliteserien. Il 2 aprile 2022 ha quindi disputato il primo incontro nella massima divisione locale, venendo schierato titolare nel pareggio interno per 2-2 arrivato contro il Lillestrøm.
Il 30 gennaio 2023, il Lillestrøm ha annunciato l'ingaggio di Skjærvik a titolo definitivo. Ha esordito il 23 aprile, quando ha sostituito Gjermund Åsen nella vittoria per 2-1 sul Molde. Il 19 luglio 2023 ha trovato il primo gol, nel 5-1 sull'Aalesund.
Il 18 gennaio 2024, Skjærvik ha firmato un contratto quadriennale con il Tromsø. Ha esordito il 14 aprile seguente, schierato titolare nella sconfitta interna per 0-1 subita contro l'Haugesund. Il 20 maggio 2024 ha segnato il primo gol, nella vittoria per 3-2 arrivata contro il Rosenborg. Il 25 luglio successivo ha giocato la prima partita nelle competizioni UEFA per club, nei turni preliminari della Conference League 2024-2025: è stato titolare nel successo per 0-1 in casa del .
Statistiche Presenze e reti nei club Statistiche aggiornate al 10 agosto 2025. StagioneClubCampionatoCoppe nazionaliCoppe continentaliSupercoppeTotaleCompPresRetiCompPresRetiCompPresRetiCompPresRetiPresReti 2017 3D 21 4 CN 0 0 - - - - - - 21 4 2018 4D 20 1 CN 3 0 - - - - - - 23 1 2019 4D 21 4 CN 0 0 - - - - - - 21 4 Totale Lillehammer 62 9 3 0 - - - - 65 9 2020 HamKam 1D 22 0 - - - - - - - - - 22 0 2021 1D 21 1 CN 3 0 - - - - - - 24 1 2022 ES 26 0 CN 6 0 - - - - - - 32 0 Totale HamKam 69 1 9 0 - - - - 78 1 2023 Lillestrøm ES 20 1 CN 1 0 - - - - - - 21 1 2024 Tromsø ES 28 1 CN 2 0 UECL 4Presenze nei turni preliminari. 0 - - - 34 1 2025 ES 16 2 CN 1 0 - - - - - - 17 2 Totale Tromsø 44 3 4 0 4 0 - - 52 3 Totale 195 14 16 0 4 0 - - 215 14
Note
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