Schwartz è stato selezionato con la 14ª scelta assoluta al Draft NHL 2010 dai St. Louis Blues.
Schwartz ha mosso i primi passi nell'hockey su ghiaccio da junior player con i Notre Dame Hounds della SJHL nel 2008, per poi passare ai Tri-City Storm in USHL nella stagione successiva. Quindi, nel 2011, Schwartz si è iscritto al Colorado College militando nella loro rappresentativa.
Nel marzo 2012, Schwartz ha firmato il suo primo contratto da professionista con i St. Louis Blues, con i quali ha passato la maggior parte della sua carriera in NHL, a parte una breve parentesi durante il lockout nella stagione 2012-13, nella quale ha giocato per i Peoria Rivermen in AHL (squadra affiliata agli stessi Blues), la sua unica esperienza nelle minors. Nel 2019 Schwartz ha vinto la Stanley Cup con i Blues, in un'edizione dei playoffs in cui è stato il top scorer della sua squadra.
Nel 2021, nascendo la nuova franchigia dei Seattle Kraken, Dunn è stato scelto dalla nuova squadra nell'expansion Draft 2021, passando a vestire la maglia della squadra di Seattle.
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