In matematica, la serie dell'arcotangente, tradizionalmente chiamata serie di Gregory, è lo sviluppo in serie di Taylor (centrato nell'origine) della funzione arcotangente:
Questa serie converge nel disco complesso eccetto per (dove
Scoperta per la prima volta nel XIV secolo dal matematico indiano Mādhavan di Sangamagrama (1340 – c. 1425), fondatore della scuola del Kerala, essa è descritta nelle opere pervenute di Nīlakaṇṭha Somayāji (c. 1500) e Jyeṣṭhadeva (c. 1530). Il lavoro di Mādhava era sconosciuto in Europa, e la serie dell'arcotangente fu riscoperta indipendentemente da James Gregory nel 1671 e da Gottfried Leibniz nel 1673. Nella letteratura recente la serie dell'arcotangente è talvolta chiamata serie di Mādhava–Gregory per riconoscere la priorità scientifica di Mādhava (serie di Mādhava).Ad esempio: , ;
Il caso particolare dell'arcotangente di è tradizionalmente chiamato formula di Leibnitz per , o recentemente a volte formula di Mādhava–Leibniz:
La convergenza estremamente lenta della serie dell'arcotangente per rende questa formula poco pratica di per sé. I matematici della scuola del Kerala utilizzarono termini correttivi aggiuntivi per accelerare la convergenza. Nel 1706, il matematico inglese John Machin espresse come somma di arcotangenti di valori più piccoli, inaugurando una fortunata classe di algoritmi noti come 'formule di tipo Machin' per il calcolo ad alta precisione di . Isaac Newton (1684) e altri matematici accelerarono la convergenza della serie tramite varie trasformazioni.
Dimostrazione
Se allora La derivata è
Prendendo il reciproco,
Ciò viene talvolta usato come definizione dell'arcotangente:
La serie di Maclaurin per è una serie geometrica:
È possibile ricavare la serie di Maclaurin per integrando ingenuamente termine per termine:
Sebbene il risultato sia corretto, integrali e somme infinite non possono sempre essere scambiati in questo modo. Per dimostrare che l'integrale a sinistra converge alla somma a destra per reale, può essere scritta come somma finita,
Integrando nuovamente entrambi i membri,
Nel limite per l'integrale a destra tende a zero quando poiché
Pertanto,
Convergenza Le serie per e convergono nel disco complesso , dove entrambe le funzioni sono olomorfe. Divergono per perché in è presente un polo:
Quando le somme parziali alternano tra i valori e senza mai convergere al valore
Tuttavia, il suo integrale termine per termine, la serie per converge (appena) quando poiché differisce dalla propria serie soltanto nel punto così la differenza degli integrali può essere resa arbitrariamente piccola prendendo un numero sufficientemente grande di termini:
A causa della sua convergenza estremamente lenta (occorrono cinque miliardi di termini per ottenere 10 cifre decimali corrette), la formula di Leibniz non costituisce un metodo pratico molto efficace per calcolare Trovare modi per aggirare questa lenta convergenza è stato oggetto di grande interesse matematico.
Serie accelerate Isaac Newton accelerò la convergenza della serie dell'arcotangente nel 1684 (in un lavoro inedito; altri scoprirono il risultato indipendentemente e fu in seguito reso popolare dal manuale del 1755 di Leonhard Eulero; Eulero scrisse due dimostrazioni nel 1779), ottenendo una serie convergente per
dove e
Ogni termine di questa serie modificata è una funzione razionale con i propri poli in nel piano complesso, nello stesso punto in cui la funzione arcotangente ha i propri poli. Al contrario, un polinomio come la serie di Taylor dell'arcotangente spinge tutti i propri poli all'infinito.
La formula di Eulero sopra riportata può essere semplificata ed espressa come
Un'altra serie dell'arcotangente a convergenza rapida è data da
Storia La persona più antica a cui la serie può essere attribuita con certezza è Mādhava di Sangamagrāma (c. 1340 – c. 1425). Il riferimento originale (come gran parte dell'opera di Mādhava) è andato perduto, ma la scoperta gli viene accreditata da diversi suoi successori nella Scuola del Kerala di astronomia e matematica da lui fondata. Tra le citazioni specifiche alla serie per figurano il Tantrasaṅgraha di Nīlakaṇṭha Somayāji (c. 1500), lo Yuktibhāṣā di Jyeṣṭhadeva (c. 1530), e il commento Yukti-dipika di Sankara Variyar, dove è riportata nei versi 2.206–2.209.
Note
Bibliografia
Categoria:Serie matematiche