Solido di Johnson

thumb|upright=0.6|La girobicupola quadrata elongata, il solido di Johnson con sigla J37

In geometria un solido di Johnson è un poliedro convesso le cui facce sono tutte costituite da poligoni regolari, ma che non è né un solido platonico, né un solido archimedeo, né un prisma, né un antiprisma. Le diverse facce possono essere poligoni con numeri diversi di lati. Il più semplice esempio di solido di Johnson è la piramide a base quadrata; essa ha una faccia quadrata e quattro facce triangolari.

I solidi di Johnson sono 92, e vengono generalmente indicati con una sigla che va da fino a .

Storia Nel 1966, Norman Johnson ha pubblicato una lista di poliedri che include tutti i 92 solidi e ha dato loro i nomi e i numeri da allora entrati nell'uso. Egli non ha dimostrato che di tali solidi ce ne fossero solo 92, ma ha avanzato questa congettura. La dimostrazione che la lista trovata da Johnson fosse completa è stata fornita da Victor Zalgaller nel 1969.

Proprietà Valenze ai vertici Come in ogni solido strettamente convesso, in ogni vertice incidono almeno tre facce e l'ampiezza totale dei loro angoli deve essere inferiore a 360°. Dato che un poligono regolare possiede angoli di almeno 60°, accade che in ogni vertice incidono al più cinque facce. La piramide pentagonale (J2) costituisce un esempio di solido con un vertice di valenza 5.

Tra i solidi di Johnson la girobicupola quadrata elongata (J37) è l'unica che risulta essere localmente regolare sui vertici: in ogni vertice incidono quattro facce e la composizione di queste quaterne è sempre la stessa: tre quadrati e un triangolo.

Facce Gli unici poligoni che sono facce di qualche poliedro di Johnson hanno numero di lati pari a 3, 4, 5, 6, 8 o 10. Questo dato è il risultato della classificazione: non sembrano esserci modi più diretti per mostrare che solo questi valori sono ammessi.

Nomi A prima vista i nomi dei poliedri di Johnson sembrano complicate bizzarrie; in realtà sono stati scelti in modo da risultare il più possibile descrittivi. Per padroneggiare i significati dei nomi bisogna osservare che gran parte dei solidi di Johnson si possono costruire con elaborazioni relativamente semplici a partire da poliedri piuttosto semplici: le prime piramidi, le cupole, le rotunde, i solidi platonici, i solidi archimedei, i prismi e gli antiprismi. Vediamo quindi il significato degli elementi lessicali utilizzati nei nomi.

Il prefisso bi- significa che vengono unite per le basi due copie del solido richiamato successivamente. Le cupole e le rotunde si possono unire facendo incontrare o facce simili (si usa il prefisso (orto-) o facce dissimili (si usa il prefisso giro-). Secondo questa nomenclatura, un ottaedro viene chiamato bipiramide quadrata, un cubottaedro viene detto girobicupola e un icosidodecaedro viene chiamato girobirotonda pentagonale. L'aggettivo elongato significa che è stato incollato un prisma alla base del solido richiamato o tra le basi dei solidi richiamati. Un rombicubottaedro diventa anche una ortobicupola quadrata elongata. L'aggettivo giroelongato viene usato quando è stato incollato un antiprisma alla base del solido in questione o tra le basi di due solidi in questione. Un icosaedro sarebbe una bipiramide pentagonale giroelongata. Aumentato significa che una piramide o una cupola è stata aggiunta a una faccia del solido in questione. Diminuito viene usato quando dal solido richiamato è stata rimossa una piramide o una cupola. Girato esprime il fatto che una cupola posta sul solido in questione è stata ruotata in modo che vengano a coincidere coppie di spigoli prima distinti, come per la differenza tra ortobicupole e girobicupole.

Nomi e numeri di Johnson I nomi e i numeri di Johnson per i solidi in esame sono i seguenti. Piramidi, cupole e rotonda Jn Nome Immagine Tipo V E F F3 F4 F5 F6 F8 F10 Simmetria 1 Piramide quadrata 80px Piramide 5 8 5 4 1 0 0 0 0 C4v 2 Piramide pentagonale 80px Piramide 6 10 6 5 0 1 0 0 0 C5v 3 Cupola triangolare 80px Cupola 9 15 8 4 3 0 1 0 0 C3v 4 Cupola quadrata 80px Cupola 12 20 10 4 5 0 0 1 0 C4v 5 Cupola pentagonale 80px Cupola 15 25 12 5 5 1 0 0 1 C5v 6 Rotonda pentagonale 80px Rotonda 20 35 17 10 0 6 0 0 1 C5vPiramidi modificate Jn Nome Immagine Tipo V E F F3 F4 F5 F6 F8 F10 Simmetria 7 Piramide triangolare elongata 80px Piramide elongata 7 12 7 4 3 0 0 0 0 C3v 8 Piramide quadrata elongata 80px Piramide elongata 9 16 9 4 5 0 0 0 0 C4v 9 Piramide pentagonale elongata 80px Piramide elongata 11 20 11 5 5 1 0 0 0 C5v 10 Piramide quadrata giroelongata 80px Piramide giroelongata 9 20 13 12 1 0 0 0 0 C4v 11 Piramide pentagonale giroelongata 80px Piramide giroelongata 11 25 16 15 0 1 0 0 0 C5v 12 Bipiramide triangolare 80px Dipiramide 5 9 6 6 0 0 0 0 0 D3h 13 Bipiramide pentagonale 80px Dipiramide 7 15 10 10 0 0 0 0 0 D5h 14 Bipiramide triangolare elongata 80px Bipiramide elongata 8 15 9 6 3 0 0 0 0 D3h 15 Bipiramide quadrata elongata 80px Bipiramide elongata 10 20 12 8 4 0 0 0 0 D4h 16 Bipiramide pentagonale elongata 80px Bipiramide elongata 12 25 15 10 5 0 0 0 0 D5h 17 Bipiramide quadrata giroelongata 80px Bipiramide giroelongata 10 24 16 16 0 0 0 0 0 D4dCupole e rotonde modificate Jn Nome Immagine Tipo V E F F3 F4 F5 F6 F8 F10 Simmetria 18 Cupola triangolare elongata 80px Cupola elongata 15 27 14 4 9 0 1 0 0 C3v 19 Cupola quadrata elongata 80px Cupola elongata 20 36 18 4 13 0 0 1 0 C4v 20 Cupola pentagonale elongata 80px Cupola elongata 25 45 22 5 15 1 0 0 1 C5v 21 Rotonda pentagonale elongata 80px Rotonda elongata 30 55 27 10 10 6 0 0 1 C5v 22 Cupola triangolare giroelongata 80px Cupola giroelongata 15 33 20 16 3 0 1 0 0 C3v 23 Cupola quadrata giroelongata 80px Cupola giroelongata 20 44 26 20 5 0 0 1 0 C4v 24 Cupola pentagonale giroelongata 80px Cupola giroelongata 25 55 32 25 5 1 0 0 1 C5v 25 Rotonda pentagonale giroelongata 80px Rotonda giroelongata 30 65 37 30 0 6 0 0 1 C5v 26 Girobifastigio 80px Bicupola 8 14 8 4 4 0 0 0 0 D2d 27 Ortobicupola triangolare 80px Bicupola 12 24 14 8 6 0 0 0 0 D3h 28 Ortobicupola quadrata 80px Bicupola 16 32 18 8 10 0 0 0 0 D4h 29 Girobicupola quadrata 80px Bicupola 16 32 18 8 10 0 0 0 0 D4d 30 Ortobicupola pentagonale 80px Bicupola 20 40 22 10 10 2 0 0 0 D5h 31 Girobicupola pentagonale 80px Bicupola 20 40 22 10 10 2 0 0 0 D5d 32 Ortocupolarotonda pentagonale 80px Cupolarotonda 25 50 27 15 5 7 0 0 0 C5v 33 Girocupolarotonda pentagonale 80px Cupolarotonda 25 50 27 15 5 7 0 0 0 C5v 34 Ortobirotonda pentagonale 80px Birotonda 30 60 32 20 0 12 0 0 0 D5h 35 Ortobicupola triangolare elongata 80px Bicupola elongata 18 36 20 8 12 0 0 0 0 D3h 36 Girobicupola triangolare elongata 80px Bicupola elongata 18 36 20 8 12 0 0 0 0 D3d 37 Girobicupola quadrata elongata 80px Bicupola elongata 24 48 26 8 18 0 0 0 0 D4d 38 Ortobicupola pentagonale elongata 80px Bicupola elongata 30 60 32 10 20 2 0 0 0 D5h 39 Girobicupola pentagonale elongata 80px Bicupola elongata 30 60 32 10 20 2 0 0 0 D5d 40 Ortocupolarotonda pentagonale elongata 80px Cupolarotonda elongata 35 70 37 15 15 7 0 0 0 C5v 41 Girocupolarotonda pentagonale elongata 80px Cupolarotonda elongata 35 70 37 15 15 7 0 0 0 C5v 42 Ortobirotonda pentagonale elongata 80px Birotonda elongata 40 80 42 20 10 12 0 0 0 D5h 43 Girobirotonda pentagonale elongata 80px Birotonda elongata 40 80 42 20 10 12 0 0 0 D5d 44 Bicupola triangolare giroelongata 80px Bicupola giroelongata 18 42 26 20 6 0 0 0 0 D3 45 Bicupola quadrata giroelongata 80px Bicupola giroelongata 24 56 34 24 10 0 0 0 0 D4 46 Bicupola pentagonale giroelongata 80px Bicupola giroelongata 30 70 42 30 10 2 0 0 0 D5 47 Cupolarotonda pentagonale giroelongata 80px Cupolarotonda giroelongata 35 80 47 35 5 7 0 0 0 C5 48 Birotonda pentagonale giroelongata 80px Birotonda giroelongata 40 90 52 40 0 12 0 0 0 D5Prismi aumentati Jn Nome Immagine Tipo V E F F3 F4 F5 F6 F8 F10 Simmetria 49 Prisma triangolare aumentato 80px Prisma aumentato 7 13 8 6 2 0 0 0 0 C2v 50 Prisma triangolare biaumentato 80px Prisma aumentato 8 17 11 10 1 0 0 0 0 C2v 51 Prisma triangolare triaumentato 80px Prisma aumentato 9 21 14 14 0 0 0 0 0 D3h 52 Prisma pentagonale aumentato 80px Prisma aumentato 11 19 10 4 4 2 0 0 0 C2v 53 Prisma pentagonale biaumentato 80px Prisma aumentato 12 23 13 8 3 2 0 0 0 C2v 54 Prisma esagonale aumentato 80px Prisma aumentato 13 22 11 4 5 0 2 0 0 C2v 55 Prisma esagonale parabiaumentato 80px Prisma aumentato 14 26 14 8 4 0 2 0 0 D2h 56 Prisma esagonale metabiaumentato 80px Prisma aumentato 14 26 14 8 4 0 2 0 0 C2v 57 Prisma esagonale triaumentato 80px Prisma aumentato 15 30 17 12 3 0 2 0 0 D3hSolidi platonici modificati Jn Nome Immagine Tipo V E F F3 F4 F5 F6 F8 F10 Simmetria 58 Dodecaedro aumentato 80px Dodecaedro aumentato 21 35 16 5 0 11 0 0 0 C5v 59 Dodecaedro parabiaumentato 80px Dodecaedro aumentato 22 40 20 10 0 10 0 0 0 D5d 60 Dodecaedro metabiaumentato 80px Dodecaedro aumentato 22 40 20 10 0 10 0 0 0 C2v 61 Dodecaedro triaumentato 80px Dodecaedro aumentato 23 45 24 15 0 9 0 0 0 C3v 62 Icosaedro metabidiminuito 80px Icosaedro diminuito 10 20 12 10 0 2 0 0 0 C2v 63 Icosaedro tridiminuito 80px Icosaedro diminuito 9 15 8 5 0 3 0 0 0 C3v 64 Icosaedro tridiminuito aumentato 80px - 10 18 10 7 0 3 0 0 0 C3vSolidi di Archimede modificati Jn Nome Immagine Tipo V E F F3 F4 F5 F6 F8 F10 Simmetria 65 Tetraedro troncato aumentato 80px Tetraedro troncato aumentato 15 27 14 8 3 0 3 0 0 C3v 66 Cubo troncato aumentato 80px Cubo troncato aumentato 28 48 22 12 5 0 0 5 0 C4v 67 Cubo troncato biaumentato 80px Cubo troncato aumentato 32 60 30 16 10 0 0 4 0 D4h 68 Dodecaedro troncato aumentato 80px Dodecaedro troncato aumentato 65 105 42 25 5 1 0 0 11 C5v 69 Dodecaedro troncato parabiaumentato 80px Dodecaedro troncato aumentato 70 120 52 30 10 2 0 0 10 D5d 70 Dodecaedro troncato metabiaumentato 80px Dodecaedro troncato aumentato 70 120 52 30 10 2 0 0 10 C2v 71 Dodecaedro troncato triaumentato 80px Dodecaedro troncato aumentato 75 135 62 35 15 3 0 0 9 C3v 72 Rombicosidodecaedro girato 80px Rombicosidodecaedro girato 60 120 62 20 30 12 0 0 0 C5v 73 Rombicosidodecaedro parabigirato 80px Rombicosidodecaedro girato 60 120 62 20 30 12 0 0 0 D5d 74Rombicosidodecaedro metabigirato 80px Rombicosidodecaedro girato 60 120 62 20 30 12 0 0 0 C2v 75 Rombicosidodecaedro trigirato 80px Rombicosidodecaedro girato 60 120 62 20 30 12 0 0 0 C3v 76 Rombicosidodecaedro diminuito 80px Rombicosidodecaedro diminuito 55 105 52 15 25 11 0 0 1 C5v 77 Rombicosidodecaedro paragirato diminuito 80px Rombicosidodecaedro diminuito girato 55 105 52 15 25 11 0 0 1 C5v 78 Rombicosidodecaedro metagirato diminuito 80px Rombicosidodecaedro diminuito girato 55 105 52 15 25 11 0 0 1 Cs 79 Rombicosidodecaedro bigirato diminuito 80px Rombicosidodecaedro diminuito girato 55 105 52 15 25 11 0 0 1 Cs 80 Rombicosidodecaedro parabidiminuito 80px Rombicosidodecaedro diminuito 50 90 42 10 20 10 0 0 2 D5d 81 Rombicosidodecaedro metabidiminuito 80px Rombicosidodecaedro diminuito 50 90 42 10 20 10 0 0 2 C2v 82 Rombicosidodecaedro bidiminuito girato 80px Rombicosidodecaedro diminuito girato 50 90 42 10 20 10 0 0 2 C2v 83 Rombicosidodecaedro tridiminuito 80px Rombicosidodecaedro diminuito 45 75 32 5 15 9 0 0 3 C3vMisti Jn Nome Immagine Tipo V E F F3 F4 F5 F6 F8 F10 Simmetria 84 Disfenoide camuso 80px - 8 18 12 12 0 0 0 0 0 D2d 85 Antiprisma quadrato camuso 80px - 16 40 26 24 2 0 0 0 0 D4d 86 Sfenocorona 80px - 10 22 14 12 2 0 0 0 0 C2v 87 Sfenocorona aumentata 80px - 11 26 17 16 1 0 0 0 0 Cs 88 Sfenomegacorona 80px - 12 28 18 16 2 0 0 0 0 C2v 89 Ebesfenomegacorona 80px - 14 33 21 18 3 0 0 0 0 C2v 90 Disfenocingolo 80px - 16 38 24 20 4 0 0 0 0 D2d 91 Bilunabirotonda 80px - 14 26 14 8 2 4 0 0 0 D2h 92 Ebesfenorotonda triangolare 80px - 18 36 20 13 3 3 1 0 0 C3v

Bibliografia Norman Johnson (1966): Convex Solids with Regular Faces, Canadian Journal of Mathematics, 18, pp. 169–200. Contiene la enumerazione originale dei 92 solidi e la congettura che non ve ne siano altri.