Lanalisi delle serie storiche raggruppa una serie di metodi statistici atti a indagare una serie storica, determinare il processo alla base della stessa e a trarre previsioni. Secondo l'approccio tradizionale, si assume che il processo abbia una parte deterministica, che consente di scomporlo in componenti tendenziali, cicliche e/o stagionali, e che la differenza tra i dati teorici del modello deterministico ed i dati osservati sia attribuibile ad una componente casuale residuale. Secondo l'approccio moderno, invece, si assume che il processo descritto sia stato generato da un processo stocastico descrivibile mediante un modello probabilistico di tipo parametrico.

Obiettivi L'analisi di una serie storica può avere diversi obiettivi: descrivere sinteticamente l'andamento nel tempo di un fenomeno; il grafico di una serie, in particolare, mette facilmente in evidenza sia eventuali regolarità, sia valori anomali; spiegare il fenomeno, individuando il suo meccanismo generatore ed eventuali relazioni con altri fenomeni; filtrare la serie; con ciò si intende la scomposizione della serie stessa nelle sue componenti non osservabili; prevedere l'andamento futuro del fenomeno.

Operazioni preliminari Prima di qualsiasi analisi, si esaminano i dati grezzi e si apportano spesso alcuni aggiustamenti per depurare i dati da discontinuità o dagli effetti della diversa durata degli intervalli o periodi di tempo considerati, oppure per tenere conto di valori anomali.

Discontinuità Alcuni esempi di discontinuità sono i cambiamenti di base nelle serie storiche di numeri indice, oppure la presenza di metriche diverse per le variabili economiche (prezzi correnti o costanti, diversi criteri di deflazione ecc.).

In tali casi, se non si riesce ad eliminare la discontinuità può essere preferibile limitare l'analisi a dati omogenei.

Effetti di calendario La diversa durata dei periodi incide sui valori osservati nei medesimi periodi di anni diversi, producendo variazioni non ascrivibili all'andamento del fenomeno; ad esempio, in serie mensili di dati di produzione, le variazioni nei dati grezzi dipendono in parte solo dal numero dei giorni lavorativi nei diversi mesi. Si possono eliminare tali perturbazioni in vari modi: aggregando i dati in periodi più lunghi, ad esempio passando da serie mensili a serie trimestrali o semestrali; passando a dati medi giornalieri, ossia sostituendo il dato mensile grezzo con il rapporto tra il valore osservato ed il numero di giorni rilevanti nel mese cui il valore si riferisce; indicando con ym il valore osservato nel mese m e con Nm il numero dei giorni rilevanti (ad esempio, il numero di giorni lavorativi) nel mese considerato:

applicando coefficienti correttivi, ad esempio sostituendo il valore mensile ym con un valore "aggiustato" yAGm, pari al prodotto del valore grezzo per il rapporto tra la media mensile dei giorni rilevanti in tutto l'anno ed il numero di giorni del mese cui il valore si riferisce:

Valori anomali Si possono distinguere due categorie di valori anomali (detti anche outlier): si ha una brusca variazione nella serie in un dato istante, dopo il quale però la serie stessa ritorna immediatamente (cosiddetto outlier additivo) o gradualmente (cosiddetto cambiamento temporaneo) all'andamento precedente; si ha una brusca variazione che permane nel tempo, provocando un cambiamento del livello o dello stesso andamento della serie (ad esempio, il PIL della Germania è salito di livello dopo la riunificazione del 1990). Nel primo caso si preferisce ignorare il valore anomalo, eventualmente sostituendolo con una media di valori immediatamente precedenti e successivi, nel secondo è preferibile spezzare la serie ed analizzare separatamente i dati anteriori e posteriori alla variazione.

Correlogramma

Si usa spesso visualizzare il correlogramma della serie, al fine di individuare l'eventuale prevalenza di una componente tendenziale, stagionale o stocastica.

Approccio tradizionale In generale, si assume che i dati in serie storica relativi ad un fenomeno Y siano generati da un processo del tipo:

dove f(t) genera una sequenza completamente deterministica (parte sistematica della serie) e {ut} è una sequenza di variabili aleatorie che obbediscono ad una qualche legge di probabilità (parte stocastica della serie).

Nell'approccio tradizionale si assume che esista una "legge" di evoluzione temporale del fenomeno, rappresentata da f(t), e che i residui (differenze tra valori teorici e valori osservati) siano dovuti al caso e, pertanto, siano assimilabili a errori accidentali. I residui vengono normalmente indicati con εt ed intesi come variabili aleatorie indipendenti, identicamente distribuite, con media nulla e varianza costante (nell'approccio moderno, invece, si ipotizza che la parte sistematica manchi o sia già stata eliminata, mediante stime o altri modelli, e si studia la componente stocastica ut).

Si ritiene, inoltre, che la parte sistematica sia la risultante di tre componenti non direttamente osservabili: il trend (o componente tendenziale) è la tendenza di fondo del fenomeno considerato, spesso espressa mediante una funzione polinomiale di grado non troppo elevato; il ciclo (o componente congiunturale) è l'alternanza di fluttuazioni di segno diverso intorno al trend (v. anche ciclo economico); la stagionalità (o componente stagionale) è costituita da variazioni che si riscontrano con analoga intensità negli stessi periodi di anno in anno, ma con intensità diversa nel corso di uno stesso anno (ad esempio, la produzione cala tutti gli anni in estate a seguito della chiusura per ferie di molte aziende, ma aumenta tutti gli anni in prossimità del Natale per effetto dei maggiori consumi).

La componente accidentale è data dai residui εt. Ad esempio, se si dispone di dati trimestrali, se si stima che i dati sono prodotti da un trend di crescita lineare del tipo:Si usa normalmente il "cappuccio" ^ per indicare che gli sono dati stimati e per distinguerli dai dati osservati .

se si individua una componente stagionale che provoca un aumento nel secondo e nel quarto trimestre ed una diminuzione nel primo e nel terzo:

(dove le Qi sono variabili che assumono il valore 1 nelli-esimo trimestre e 0 negli altri), le differenze tra i valori osservati yt ed i valori stimati sono:

Modelli di combinazione delle componenti Alcuni tipici modelli tradizionali sono: modello additivo: ; modello moltiplicativo: ; modello misto: ; dove Tt è il valore del trend al tempo t, Ct è il valore del ciclo, St quello della stagionalità e εt la componente accidentale.

Il modello moltiplicativo può essere trasformato in additivo usando i logaritmi: ;

Il ciclo ha una periodicità pluriennale. Per questo motivo, nelle analisi di breve/medio periodo (dette congiunturali) la componente tendenziale e quella ciclica vengono spesso considerate come un tutt'uno e si hanno modelli del tipo:

dove TCt è una componente detta "trend-ciclo".

Trend lineare o linearizzabile nei parametri Si dice lineare nei parametri un trend polinomiale del tipo:

in quanto i parametri da stimare, α0...αp, sono tutti di primo grado.

Si dice invece linearizzabile nei parametri un trend del tipo:

idoneo a rappresentare fenomeni che aumentano (α1 > 0) o diminuiscono (α1 < 0) secondo una progressione geometrica, e che può essere linearizzato come segue:

Nel caso di dati mensili o trimestrali, si può tenere conto della componente stagionale, come già sopra accennato, mediante le cosiddette variabili dummy (variabili fittizie). Nel caso di dati mensili si usano 12 variabili Mi che valgono 1 nelli-esimo mese e 0 negli altri; nel caso di dati trimestrali si usano 4 variabili Qi che valgono 1 nelli-esimo trimestre e 0 negli altri. Ad esempio, un modello lineare additivo con componente stagionale per dati trimestrale è del tipo:

dove: α rappresenta l'intercetta con l'asse delle ordinate; β rappresenta l'incremento assoluto di Yt per ogni unità di tempo; γ1...γ4 sono i parametri delle variabili dummy.

Se si ritiene di poter assumere un trend lineare o linearizzabile, i parametri possono essere facilmente stimati mediante regressione lineare. Si deve solo usare qualche accorgimento se si usano variabili dummy. Queste infatti introducono multicollinearità nei dati e, pertanto, non si possono stimare insieme l'intercetta α ed i parametri delle variabili dummy (γi).Si usa ovviamente la regressione lineare multipla. Il modello è del tipo:

Vi sono tante righe come questa quanti sono i valori di t (ad esempio, 60 se si considerano i dati trimestrali per 15 anni). Si può quindi riscrivere il modello in forma matriciale:

dove:

Il vettore β risulta pari a:

ma questo comporta che può essere calcolato solo se la matrice XTX è invertibile, quindi solo se la matrice X ha rango p. Tuttavia, se β1 è l'intercetta, allora la prima colonna della matrice X è costituita da tutti 1; se quattro variabili indicano la stagionalità, le relative colonne della matrice sono:

Ne segue che la prima colonna è la somma delle quattro colonne corrispondenti alle variabili dummy e, pertanto, il rango di X è inferiore a p. Si usa quindi stimare solo i parametri delle variabili dummy, oppure solo l'intercetta e tre dei parametri delle variabili dummy; ad esempio, si assume il modello:

Una volta ottenuta la stima per i parametri asteriscati, si risale all'intera serie dei parametri con una semplice trasformazione che si basa sulle uguaglianze:    (l'intercetta ottenuta "incorpora" la variabile non stimata);    (se si calcola una nuova intercetta, minore di quella ottenuta, il grafico "si abbassa"; si deve quindi sommare la differenza ai parametri delle variabili dummy per "rialzare" il grafico);    (gli effetti stagionali si compensano tra loro). Da esse si ottiene:

che consente di calcolare i parametri α, γ1, γ2, γ3 e γ4 sulla base di α*, γ*1, γ*2, γ*3.

Valutazione del modello e previsioni In generale, si usa valutare l'adattamento del modello ai dati osservati si usa il coefficiente di determinazione R2. Tuttavia, aumentando il grado del polinomio interpolante l'adattamento migliora, ma diventa più arduo interpretare i parametri, il cui numero aumenta col grado.

Si usa quindi un coefficiente "corretto":

dove n è il numero delle osservazioni e p il numero dei parametri (compresa l'intercetta) e il cui valore aumenta se aumenta R2, ma diminuisce se aumenta p.

Si verifica anche il correlogramma dei residui, che devono risultare oscillanti entro un banda ristretta.

Se l'adattamento è buono, il modello può essere utilizzato per previsioni. Ad esempio, se si dispone di 80 rilevazioni trimestrali dal primo trimestre 1989 al quarto trimestre 2008, se si è ottenuto un buon adattamento per la stima:

la previsione per il primo trimestre 2009 è: 200+1.5×81-4×Q1=200+121.5-4=317.5 (Q2 = Q3 = Q4 = 0 per il primo trimestre); la previsione per il secondo trimestre 2009 è: 200+1.5×82+4×Q2=200+123+4=327 (Q1 = Q3 = Q4 = 0 per il secondo trimestre).

Trend non linearizzabile nei parametri Se il fenomeno osservato presenta una fase di crescita seguita poi da una progressiva decelerazione, si possono ipotizzare trend come i seguenti: curva esponenziale modificata:  ; curva logistica:  ; curva di Gompertz:  ; che presentano un asintoto orizzontale in quanto tendono ad α quando t tende all'infinito.

In casi come questi (dinamica delle popolazioni, evoluzione della domanda di beni durevoli ecc.) la linearizzazione non è possibile e si ricorre, pertanto, alla regressione non lineare.

Medie mobili

Se l'andamento del fenomeno appare irregolare, si preferisce individuare la componente tendenziale in modo empirico, eliminando le componenti stagionale e/o accidentale mediante medie mobili.

In particolare, per eliminare la componente stagionale presente in dati trimestrali si potrebbe usare una media mobile a 4 termini:

oppure: