In geometria, si dice calotta sferica ciascuna delle parti in cui la superficie di una sfera è suddivisa da un piano secante. Se il piano secante passa per un diametro della sfera le due parti si dicono emisferi. Il volume compreso tra la calotta e il piano secante è detto segmento sferico.
Il cerchio delimitato dalla sfera e dal piano secante è detto base della calotta. Il raggio passante per il centro della base è un asse di simmetria per la calotta, e incontra la calotta stessa in un punto detto vertice; la parte di raggio compresa tra la base e il vertice è detta altezza della calotta.
Formule Superficie L'area della superficie della calotta sferica si ottiene dal prodotto della lunghezza della circonferenza massima della sfera a cui appartiene per la sua altezza:
dove e sono il raggio della sfera e l'altezza della calotta sferica. Se è l'angolo solido sotteso dalla calotta, la superficie si può esprimere anche come:
Se si introduce l'apertura del cono sotteso dalla calotta sferica (confrontare angolo solido) si ottengono le notevoli relazioni:
Volume Il volume della calotta sferica è dato da
oppure da
La relazione tra l'altezza , il raggio di base della calotta e il raggio della sfera è data da:
dove il segno positivo e negativo della formula corrispondono alle altezze delle due calotte generate da un singolo piano secante.
Dimostrazione Fissando un sistema di coordinate cartesiane con origine nel centro della sfera e asse passante per l'altezza della calotta, il volume è dato dall'integrale triplo dell'unità sul dominio :
dove
Passando alle coordinate polari, si ha:
Ricordando che , si ha la tesi:
Voci correlate Arco di circonferenza Geometria sferica Segmento circolare Sfera Sferometro
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Categoria:Geometria solida