Il teorema di Menelao è un noto teorema in geometria elementare, attribuito al matematico Menelao di Alessandria, che tratta dei triangoli nella geometria piana.
Enunciato Dati un triangolo di vertici A, B, C e tre punti D, E ed F che giacciono rispettivamente sulle rette BC, AC e AB, D, E ed F sono allineati se e solo se:
In questa equazione, , , ecc., rappresentano la misura dei segmenti considerati con segno. Per esempio, la frazione ha segno positivo solo quando la retta per , ed interseca il lato .
Si tiene anche conto dell'orientamento dei segmenti, cioè:
Dimostrazione
Si osserva che il membro a sinistra dell'equazione ha segno negativo se tutti e tre i rapporti sono negativi, caso in cui la retta non interseca il triangolo, oppure un rapporto è negativo e gli altri due positivi, caso in cui la retta interseca il triangolo in due punti (si veda l'assioma di Pasch).
Si costruiscano le perpendicolari da , e su , le chiamo rispettivamente , e . Ora per similitudine di triangoli, segue che:
Cioè:
Dove l'ultima uguaglianza si è ottenuta semplificando le frazioni all'interno del modulo.
Per l'altro verso dell'implicazione:
siano ed appartenenti rispettivamente alle rette e , in modo che l'equazione valga. Sia il punto in cui le rette e si intersecano. Allora per quanto dimostrato in precedenza anche ed verificano l'equazione. Confrontandole:
Ma al più un punto può spezzare un segmento in due con un dato rapporto, quindi si conclude che:
Note
Voci correlate Assioma di Pasch Teorema di Ceva
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Collegamenti esterni
Giuseppe Peano, Calcolo geometrico secondo l'Ausdehnungslhere di H. Grassmann, Fratelli Bocca Editori, 1888, pp. 44-48. http://mathematica.sns.it/opere/138/
Categoria:Geometria del triangolo Categoria:Geometria euclidea Menelao