In trigonometria, il teorema dei seni (noto anche come teorema di Eulero) esprime una relazione di proporzionalità diretta fra le lunghezze dei lati di un triangolo e i seni dei rispettivi angoli opposti.

Si consideri il triangolo generico ABC rappresentato nella figura a lato, in cui gli angoli sono indicati da lettere greche minuscole e i lati opposti agli angoli dalle corrispondenti lettere latine minuscole.

Vale quindi

dove R è il raggio del cerchio circoscritto al triangolo ABC e

è l'area del triangolo ricavata dal semiperimetro p grazie alla formula di Erone.

La relazione di proporzionalità viene formulata a volte in questo modo: .

Applicazioni

Il teorema può essere adoperato per determinare il raggio del cerchio circoscritto:

per la risoluzione di un triangolo dati un angolo, un lato adiacente all'angolo e il lato opposto (vedere figura a lato): .

Generalizzazione alle geometrie non euclidee

Per una superficie non euclidea dalla curvatura K, il raggio di curvatura ρ è . Si definiscono quindi le dimensioni ridotte del triangolo: , , . Nel caso di un triangolo sferico, a, b e c corrispondono alle misure angolari dei segmenti degli archi grandi [BC], [AC] e [AB] (vedere figura).

Geometria sferica In un triangolo sferico ABC tracciato sulla sfera di centro O e di raggio ρ, il teorema del seno è espresso da , dove VOABC è il volume del tetraedro OABC.

Geometria iperbolica

In un triangolo iperbolico, il teorema dei seni si esprime con .

Generalizzazione al tridimensionale (euclideo)

Si consideri un tetraedro A1A2A3A4 nello spazio tridimensionale. La figura di lato mostra un tetraedro proiettato su un piano e indica le notazioni di vertici, facce e angoli del tetraedro: Sk la faccia opposta al vertice Ak; sk la superficie di Sk; Δk il piano su cui giace Sk; θij l'angolo diedro .

Il seno dell'angolo triedro in corrispondenza del vertice A1 si definisce nel modo seguente: ; E in modo analogo per gli altri angoli triedri.

Vale quindi , dove V è il volume del tetraedro.

Voci correlate Seno (matematica) Trigonometria Triangolo Teorema del coseno Teorema della corda

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Categoria:Trigonometria Seni