Un numero complesso è definito come un numero della forma , con e numeri reali e soluzione dell'equazione detta unità immaginaria. I numeri complessi sono usati in tutti i campi della matematica, in molti campi della fisica (notoriamente in meccanica quantistica), nonché in ingegneria (specialmente in elettronica, telecomunicazioni ed elettrotecnica) per la loro utilità nel rappresentare onde elettromagnetiche e correnti elettriche ad andamento temporale sinusoidale.
In matematica i numeri complessi formano un campo (nonché un'algebra reale bidimensionale) e sono generalmente visualizzati come punti di un piano, detto piano complesso. La proprietà più importante dei numeri complessi è basata sul teorema fondamentale dell'algebra, secondo il quale qualunque equazione polinomiale di grado ha soluzioni complesse, non necessariamente distinte.
Introduzione informale L'unità immaginaria Nel corso dei secoli gli insiemi dei numeri sono andati man mano allargandosi, presumibilmente per rispondere all'esigenza di dare soluzione ad un numero sempre maggiore di equazioni e problemi. W. S. Anglin e J. Lambek, The Heritage of Thales, Springer, 2012, p. 3.
I numeri complessi sono un'estensione dei numeri reali, nata inizialmente per consentire di trovare tutte le soluzioni delle equazioni polinomiali. Ad esempio, l'equazione
non ha soluzioni nell'insieme dei numeri reali, perché non esistono numeri reali il cui quadrato sia negativo.
Si definisce allora il valore , chiamato unità immaginaria, che gode della seguente proprietà:
I numeri complessi sono formati da due parti, una parte reale e una parte immaginaria, e sono rappresentati dalla seguente espressione:
dove e sono numeri reali, è l'unità immaginaria.
Le leggi della somma algebrica e del prodotto nei numeri complessi si applicano facendo i conti nel modo usuale e sapendo che .
Come i numeri reali sono in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta, quelli complessi sono in corrispondenza con i punti del piano, detto piano complesso (o di Argand-Gauss): al numero complesso si associa il punto di coordinate cartesiane .
Equazioni a coefficienti reali con soluzioni non reali Usando la relazione si possono risolvere tutte le equazioni di secondo grado
con , incluse quelle che non hanno soluzioni reali in quanto dotate di discriminante negativo:
Le soluzioni sono determinate dalla formula risolutiva dell'equazione
che nel caso in cui il discriminante sia negativo, si svolge nel modo seguente:
con
Ad esempio:
Più in generale è vero che se un numero complesso è soluzione di un'equazione a coefficienti reali, allora anche il suo complesso coniugato è soluzione della stessa equazione. Quindi nel caso di un'equazione di grado dispari, tra le soluzioni ci sarà sempre almeno un numero reale.
Storia
I numeri complessi hanno avuto una genesi dilatata nel tempo. Cominciarono a essere utilizzati formalmente nel XVI secolo nelle formule di risoluzione delle equazioni di terzo e quarto grado di Tartaglia. I primi che riuscirono ad attribuire soluzioni alle equazioni cubiche furono Scipione del Ferro, Rafael Bombelli e anche Niccolò Tartaglia, quest'ultimo, dopo molte insistenze, passò i risultati a Girolamo Cardano con la promessa di non divulgarli. Cardano dopo aver verificato l'esattezza delle soluzioni di Tartaglia non rispettò la sua promessa e pubblicò i risultati, citandone l'autore però, nella sua nota Ars Magna del 1545. Tartaglia aveva molte amicizie tra gli inquisitori e in seguito Cardano ebbe problemi legati alla giustizia del tempo, molti dei quali provenienti da accuse di eresia. Attualmente la comparsa di radici di numeri negativi viene attribuita principalmente a Tartaglia mentre nelle meno numerose pagine dedicate a Cardano non vi è traccia del suo probabile importante contributo a tale rappresentazione numerica.
Inizialmente i numeri complessi non vennero considerati come "numeri" ma solo come artifici algebrici utili a risolvere equazioni. Erano infatti numeri "che non dovrebbero esistere": Cartesio nel XVII secolo li chiamò "numeri immaginari". Abraham de Moivre ed Eulero nel XVIII secolo incominciarono a fornire ai numeri complessi una base teorica, finché questi assunsero piena cittadinanza nel mondo matematico con i lavori di Gauss. Contemporaneamente si affermò l'interpretazione dei numeri complessi come punti del piano.
Terminologia In matematica molti oggetti e teoremi dipendono dalla scelta di un insieme numerico di base: spesso la scelta è fra numeri reali e complessi. L'aggettivo "complesso" è in questo caso usato per specificare questo insieme di base. Per esempio, si definiscono le matrici complesse, i polinomi complessi, gli spazi vettoriali complessi e l'algebra di Lie complessa. Esistono anche il teorema di Sylvester complesso e il teorema spettrale complesso.
Definizione moderna Formalmente un numero complesso si può definire come una coppia ordinata di numeri reali . Si definiscono quindi somma e prodotto di due numeri complessi nel modo seguente:
Con queste due operazioni, l'insieme dei numeri complessi risulta essere un campo, che viene indicato con .
Il numero complesso viene identificato con il numero reale , mentre il numero è chiamato unità immaginaria ed è descritto con la lettera . L'elemento 1 è l'elemento neutro per la moltiplicazione, mentre si verifica che:
Ogni numero complesso si scrive facilmente come combinazione lineare nel modo seguente:
I numeri e sono rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria di . Questa rappresentazione dei numeri complessi rende agevole lo svolgimento delle operazioni di somma e prodotto. Ad esempio:
Definizioni alternative Usando gli strumenti della teoria dei campi, il campo dei numeri complessi può essere definito come la chiusura algebrica del campo dei numeri reali.
Usando gli strumenti della teoria degli anelli, può anche essere introdotto come l'anello quoziente dell'anello dei polinomi reali con una variabile tramite l'ideale generato dal polinomio :
Questo è effettivamente un campo perché è irriducibile. La radice del polinomio è l'unità immaginaria , quindi l'anello quoziente è isomorfo a .
Geometria
Un numero complesso può essere visto come un punto del piano cartesiano, chiamato in questo caso piano di Gauss. Una rappresentazione di questo tipo si chiama diagramma di Argand-Gauss. Nella figura si vede che
essendo e funzioni trigonometriche.
Le formule inverse sono:
per per
Usando la formula di Eulero, possiamo esprimere come
tramite la funzione esponenziale. Qui è il modulo (o valore assoluto o norma) e (detta anomalia) è largomento di . L'argomento è determinato da se è inteso nell'intervallo , altrimenti è definito solo a meno di somme con per qualche intero .
Operazioni con i numeri complessi Modulo e distanza
Il valore assoluto (modulo) ha le seguenti proprietà:
se
valide per tutti i numeri complessi e .
La prima proprietà è una versione della disuguaglianza triangolare.
La distanza fra due punti del piano complesso è data semplicemente da
Coniugato
Il complesso coniugato del numero complesso è definito come
A volte è anche indicato come . Nel piano complesso è ottenuto da per simmetria rispetto all'asse reale. Valgono le seguenti proprietà:
Reciproco
Conoscendo il valore assoluto e il coniugato di un numero complesso è possibile calcolare il suo reciproco attraverso la formula:
Ossia, se otteniamo
Somma algebrica Valgono le relazioni
La somma di due numeri complessi equivale alla usuale somma fra vettori nel piano complesso.
Prodotto Vale
In realtà il prodotto si può calcolare analogamente ad un normale prodotto di binomi. Usando la rappresentazione
e le proprietà della funzione esponenziale, il prodotto di due numeri complessi
assume la forma più agevole
In altre parole, il prodotto di due numeri complessi è un numero complesso che ha come argomento la somma degli argomenti e come modulo il prodotto dei moduli.
Questa affermazione consente di dimostrare la regola dei segni del prodotto: . Difatti se si considera che l'argomento di un numero reale negativo è 180º, moltiplicando tra loro due di questi numeri si ottiene un numero con argomento 360° e quindi 0° che è l'argomento di un numero reale positivo.
Una moltiplicazione per un numero complesso può essere vista come una simultanea rotazione e omotetia. Moltiplicare un vettore o equivalentemente un numero complesso per l'elemento produce una rotazione di 90°, in senso antiorario, del numero complesso di partenza. La moltiplicazione per e poi ancora per produce una rotazione di 180º; ciò è logico visto che .
Rapporto Il rapporto fra due numeri complessi e è dato da:
Usando la rappresentazione
il rapporto di due numeri complessi è
Potenze Rappresentando ogni numero complesso come
è facile descrivere la potenza -esima
per ogni intero. Con una notazione lievemente differente:
Si ottiene la formula di De Moivre:
Inoltre, ogni numero complesso ha esattamente radici -esime: in particolare non esiste un modo univoco di definire la radice quadrata di un numero complesso.
Esponenziale
La funzione esponenziale complessa è definita facendo uso delle serie e degli strumenti del calcolo infinitesimale, nel modo seguente:
In particolare, se si ottiene
facendo uso della formula di Eulero.
Logaritmo
Il logaritmo naturale di un numero complesso è per definizione un numero complesso tale che
Se
il logaritmo di è un qualsiasi numero complesso del tipo
dove è un numero intero qualsiasi. Poiché il valore è arbitrario, un numero complesso ha una infinità di logaritmi distinti, che differiscono per multipli interi di .
Se si può scrivere
In questo caso, se è reale (cioè se ) fra gli infiniti valori ce n'è uno reale, che corrisponde all'usuale logaritmo di un numero reale positivo.
Esempi Supponiamo di voler individuare i numeri complessi tali che
La prima possibilità è quella di porre e di uguagliare la parte reale di alla parte reale del coniugato di e analogamente per le rispettive parti immaginarie. Seguendo questa strada si ottengono due equazioni:
da cui si ricavano 7 soluzioni:
In alternativa, si può usare la rappresentazione polare
e uguagliare le norme e gli argomenti di e del coniugato di , ottenendo anche qui due equazioni:
con . Si ottengono le stesse soluzioni, per esempio
Alcune proprietà Assenza dell'ordinamento Diversamente dai numeri reali, i numeri complessi non possono essere ordinati in modo compatibile con le operazioni aritmetiche, ossia non è possibile definire una relazione d'ordine tale che
come avviene con i numeri reali. Infatti in ogni campo ordinato tutti i quadrati devono essere maggiori o uguali a zero ma in campo complesso, per costruzione dell'unità immaginaria, .
Ciò non deve essere confuso con il dire che l'insieme dei numeri complessi non può essere totalmente ben ordinato. Infatti i numeri complessi hanno, ad esempio, un ordinamento in termini di ordine lessicografico, e costituiscono quindi un insieme ordinabile (come ogni insieme in ZFC stante l'assioma della scelta), ma non formano un campo ordinato (per la ragione di cui sopra) né una struttura algebrica ordinabile rispetto alla metrica indotta da una norma.
Piano cartesiano
Quando si disegna una funzione nel piano cartesiano il cui codominio contiene numeri dell'insieme immaginario, tali numeri non possono essere rappresentati da una coppia di coordinate , poiché essendo complesso non può avere ordinamento rispetto alla retta .
Spazio dei vettori reali L'insieme è contemporaneamente uno spazio vettoriale complesso a una dimensione (come tutti i campi), e uno spazio vettoriale reale a due dimensioni. In quanto spazio vettoriale reale a dimensione finita è inoltre uno spazio normato completo, cioè uno spazio di Banach, e più in particolare uno spazio di Hilbert.
Soluzioni delle equazioni polinomiali