In matematica, e in particolare in geometria solida e in teoria dei grafi, un poliedro è un solido delimitato da un numero finito di facce piane poligonali. Come primi poliedri da prendere in considerazione, per la loro semplicità, vi sono i cubi, i parallelepipedi, le piramidi e i prismi. Fra i poliedri più complessi occupano un ruolo centrale i cinque solidi platonici, noti fin dall'antica Grecia.
Il termine poliedro deriva dal greco πολύεδρον (πολύς, polys = "molti" e ἔδρον, édron = "faccia"). Molti oggetti microscopici naturali (molecole, protozoi, virus, etc.) hanno forme o simmetrie poliedrali. I cristalli si possono presentare in questa forma anche a livello macroscopico.
+ Alcuni poliedri Dodecaedro(Poliedro platonico) Piccolo dodecaedro stellato(Poliedro di Keplero-Poinsot) Icosidodecaedro(Poliedro archimedeo) Prisma stellato(Poliedro uniforme stellato) Triacontaedro rombico(Poliedro di Catalan) Ebesfenomegacorona(Poliedro di Johnson)
Nozioni di base Definizione In matematica non esiste una definizione univoca di poliedro.Il problema è affrontato da un punto di vista storico e matematico in Nei casi più studiati, i poligoni formano una superficie che delimita una zona solida dello spazio: in questo caso per poliedro si intende questo solido, e non solo i poligoni che ne delimitano la superficie. Nei libri di testo la definizione formale di "poliedro" è spesso accompagnata da ipotesi tecniche aggiuntive, volte ad escludere alcuni casi considerati "patologici". Ad esempio, in Dedò (1999, p. 65) si definisce una superficie poliedrale come un numero finito di poligoni nello spazio tali che: l'intersezione di due facce è vuota oppure è uno spigolo o un vertice, ogni spigolo appartiene precisamente a due facce, due facce adiacenti non sono complanari, fissato un vertice e due facce incidenti su , esiste una catena di facce contenenti tali che , e sia adiacente a per ogni . La scelta di ipotesi tecniche aggiuntive non è però univoca e dipende fortemente dalla scelta dell'autore. Le ipotesi sopra elencate sono volte rispettivamente ad impedire che: due facce si intersechino nel loro interno (cosa che però si deve ammettere se si vogliono considerare anche i poliedri di Keplero-Poinsot, presenti in questa voce), uno spigolo appartenga a 4, 6 o più facce, come nell'unione di due poliedri che si intersecano solo in uno spigolo, due facce si sovrappongano, o che vi siano spigoli "finti" con angolo diedrale di 180°, un vertice appartenga localmente a 2 o più pezzi distinti, come nell'unione di due poliedri che si intersecano solo in un vertice.
Facce
I poligoni sono le facce del poliedro. Le facce possono avere le forme più svariate: possono essere tutte congruenti come nel cubo, avere sempre lo stesso numero di lati senza però essere congruenti come in un più generico parallelepipedo, oppure avere numero di lati variabile come in un prisma o una piramide.
Spigoli I lati delle facce sono gli spigoli del poliedro; per definizione, uno spigolo appartiene contemporaneamente a due facce distinte e la sua quantità più rappresentativa è la lunghezza. Un poliedro può possedere spigoli di lunghezza costante (come nel cubo) o variabile.
Le due facce che toccano uno spigolo formano un angolo, detto angolo diedrale, che varia in generale da spigolo a spigolo, ma che può assumere un valore costante in alcuni poliedri: per esempio, nel cubo è sempre un angolo retto, mentre nel tetraedro è approssimativamente di 70° 32′.
Vertici I vertici delle facce (cioè le estremità degli spigoli) sono i vertici del poliedro. Ogni vertice appartiene almeno a 3 facce distinte. Il numero di facce cui appartiene è anche uguale al numero di spigoli che tocca: questo numero è la valenza del vertice.
La cuspide di un vertice è la struttura locale del poliedro intorno a questo.
Adiacenze e incidenze
Si dicono vertici adiacenti del poliedro due vertici che sono estremità di uno stesso spigolo; si dicono spigoli adiacenti del poliedro due spigoli che hanno un vertice in comune; si dicono facce adiacenti del poliedro due facce che hanno uno spigolo in comune. Ciascuna delle tre relazioni di adiacenza fra vertici, spigoli e facce di un poliedro chiaramente è una relazione simmetrica.
Ad esempio, in un tetraedro due vertici e due facce sono sempre adiacenti, mentre uno spigolo è adiacente a tutti gli altri spigoli tranne uno (detto opposto).
Per fissare una terminologia, si introducono anche tre relazioni di incidenza; si dicono incidenti: un vertice e uno spigolo di cui il vertice è estremità; un vertice e una faccia di cui il vertice fa parte; uno spigolo e una faccia della quale lo spigolo è lato.
Quantità
Per ogni maggiore o uguale a 4 esiste un poliedro con facce. Una prima classificazione dei poliedri riguarda il numero delle loro facce: un poliedro di 4, 5, 6, 7, 8, ...12, ...20, ... facce può essere chiamato rispettivamente tetraedro, pentaedro, esaedro, ettaedro, ottaedro,... dodecaedro,... icosaedro,... secondo i prefissi numerici greci usati anche per i poligoni. I nomi ottaedro, dodecaedro e icosaedro sono però generalmente riservati a tre poliedri ben specifici, e non ad un generico poliedro con 8, 12 e 20 facce: si tratta di tre dei 5 solidi platonici.
Il numero di facce, spigoli e vertici di un poliedro forma una terna di numeri indicati con . Il tetraedro è il più piccolo poliedro, nel senso che esso presenta 4 facce, 6 spigoli e 4 vertici, mentre per tutti i poliedri rimanenti valgono le relazioni , ,
Altre nozioni Convessità
Un poliedro convesso è un poliedro che individua un solido convesso. Questa condizione può essere espressa in vari modi equivalenti. Per ogni coppia di punti del solido, il segmento che li unisce è contenuto interamente nel solido (questa è la definizione usuale di insieme convesso nello spazio); Per ogni coppia di vertici, il segmento che li unisce è contenuto interamente nel solido;Un tale segmento talora viene detto diametro del poliedro; altri definiscono diametro di un poliedro un qualsiasi segmento aventi gli estremi su vertici, spigoli o facce, e gli altri punti all'interno del solido. Il piano contenente ciascuna faccia divide lo spazio in due semispazi, ed il poliedro è interamente contenuto in ciascuno di questi. Un poliedro non convesso è a volte detto concavo.
I poliedri più noti sono convessi. Mentre la definizione generale di poliedro varia a seconda dell'autore, esiste una definizione di poliedro convesso universalmente accettata dai matematici, descritta sotto. Un semispazio è una delle due porzioni di spazio delimitate da un piano.
Un poliedro convesso è una zona limitata dello spazio ottenuta come intersezione di un numero finito di semispazi.
A partire da questa definizione, è possibile definire le facce come i poligoni ottenuti intersecando il poliedro con i piani che delimitano questi semispazi. Ad esempio, il cubo è un poliedro convesso con 6 facce e può essere ottenuto come intersezione di 6 semispazi, delimitati dai piani contenenti le facce.
Scheletro
Vertici e spigoli di un poliedro formano un grafo, detto scheletro del poliedro. Ad esempio, lo scheletro del tetraedro è un grafo completo con 4 vertici.
Lo scheletro di un poliedro convesso è un grafo planare: infatti è possibile proiettare da un punto interno del poliedro il grafo su una qualsiasi sfera centrata nel punto, e quindi successivamente nel piano tramite una proiezione stereografica. Il grafo di un poliedro più complesso può non essere planare.
Sviluppo piano
Lo sviluppo piano di un poliedro è una figura piana che consiste in un certo numero di poligoni accoppiati lungo alcuni lati, che possono essere piegati nello spazio in modo da chiudersi e formare un poliedro. Lo sviluppo piano è uno strumento concreto utile per costruire poliedri di carta.
Qualsiasi poliedro convesso può essere costruito a partire da uno sviluppo piano. Lo stesso poliedro può essere costruito a partire da sviluppi piani differenti: l'insieme dei poligoni presenti è sempre lo stesso (sono le facce del poliedro), ma il percorso che queste formano può essere differente.Uno sviluppo è infatti determinato dall'albero massimale nel grafo poliedrale formato dagli spigoli che vengono incollati alla chiusura. Alberi massimali diversi possono dare luogo a sviluppi diversi.
Struttura combinatoria e metrica
La struttura combinatoria di un poliedro è l'insieme dei suoi vertici, spigoli e facce e le relazioni di incidenza fra questi. La struttura metrica di un poliedro è invece la struttura del poliedro come spazio metrico, cioè come spazio dotato di distanza fra punti.
Una rotazione intorno ad un asse o una traslazione lasciano immutate le strutture metriche e combinatorie del poliedro. Una omotetia trasforma la struttura metrica (poiché modifica ad esempio le distanze fra i vertici) ma lascia invariata la struttura combinatoria. Più in generale, la struttura combinatoria è più flessibile: ad esempio, due parallelepipedi hanno sempre la stessa struttura combinatoria, ma non necessariamente metrica.
La terna dà una buona descrizione della struttura combinatoria del poliedro: la descrizione non è però completa, perché non contiene tutte le informazioni sulle adiacenze. Un'ulteriore informazione è la valenza dei vertici.
Proprietà topologiche Le proprietà topologiche di un poliedro sono quelle che ne descrivono solamente la forma globale. I poliedri più studiati (ad esempio, i convessi) hanno tutti la stessa forma topologica: sono "topologicamente equivalenti" ad una palla; tali poliedri sono detti semplici. Per i poliedri semplici vale una formula importante, detta relazione di Eulero.
Topologia della superficie
La superficie di un poliedro è l'unione delle sue facce. In alcuni casi, come nel grande icosaedro mostrato in figura, queste facce possono intersecarsi, e formare quindi una figura complicata. Quando questo accade, può non essere chiaro quale sia la porzione solida di spazio da considerare effettivamente "compresa" dalle facce. Questo fenomeno è simile a quello che si presenta in dimensione 2 nei poligoni stellati.
Nei casi più studiati però le facce non si intersecano e formano effettivamente una superficie che può essere studiata da un punto di vista topologico: se ne descrive cioè la forma globale, disinteressandosi degli angoli formati localmente dai vari spigoli e vertici. Una superficie delimita sempre una porzione di spazio.Questo fatto, benché intuitivo, non è di banale dimostrazione: si tratta dell'analogo tridimensionale del teorema della curva di Jordan. Il fatto che la superficie sia un'unione di poligoni rende comunque più facile la dimostrazione: senza questa ipotesi si possono creare superfici come la sfera cornuta di Alexander, che si comportano in modo più bizzarro.
Da un punto di vista topologico, una superficie nello spazio è caratterizzata soprattutto dal "numero di pezzi disgiunti" e dal "numero di buchi". Quando questa è formata da un pezzo solo e non ha buchi, è equivalente ad una sfera. I pezzi disgiunti ed il numero di buchi in matematica sono formalizzati rispettivamente con le nozioni di componente connessa e genere. Un poliedro con un buco ha una superficie avente la forma di un toro.
Un poliedro le cui facce formano una superficie con un pezzo solo e senza buchi è detto semplice. I poliedri convessi, e la maggior parte dei poliedri studiati, sono semplici.
Relazione di Eulero
La relazione di Eulero collega i numeri , e delle facce, degli spigoli e dei vertici di un poliedro semplice nel modo seguente:
Ad esempio: per il cubo: , , , da cui . per il tetraedro: , , , da cui . per il prisma a base pentagonale: , , , da cui . per il dodecaedro: , , , da cui . La relazione di Eulero può essere usata per dimostrare ad esempio che non è possibile costruire un pallone da calcio simile a quello in figura ma con facce tutte esagonali.