Во математиката проективната геометрија е делот кој ги проучува геометриските својства кои се непроменливи во однос на проективните трансформации. Ова значи дека, во споредба со елементарната Евклидова геометрија, проективната геометрија има поинаква поставеност, проективен простор и избрано множество на основни геометриски концепти. Основните интуиции се дека проективниот простор има повеќе точки од Евклидовиот простор, за дадена димензија, и дека се дозволени геометриски трансформации кои ги трансформираат дополнителните точки (наречени „точки во бесконечност“) во Евклидови точки, и обратно.
Својствата кои имаат смисла за проективната геометрија се почитуваат со оваа нова идеја за трансформација, која е порадикална во нејзините ефекти отколку што може да се изрази со трансформациона матрица и транслации (афини трансформации). Првото прашање за геометрите е каква геометрија е адекватна за оваа нова ситуација. Не е можно да се зборува за агли во проективната геометрија како што е во Евклидовата геометрија бидејќи аголот е пример за концепт кој не е непроменлив во однос на проективните трансформации, како што се гледа во цртежите на перспективност. Еден извор за проективната геометрија била теоријата за перспективности. Друга разлика од елементарната геометрија е тоа дека паралелните линии се сечат во точка во бесконечност, откако концептот ќе се преведе во термини на проективна геометрија. Повторно, овој поим има интуитивна основа, како што се железничките пруги кои се среќаваат на хоризонтот во перспективен цртеж. Погледнете ја проективната рамнина за основите на проективната геометрија во две димензии.
Додека идеите биле достапни од претходно, проективната геометрија главно била развиена во XIX век. Тука била вклучена теоријата на комплексен проективен простор, во која употребените координати (хомогени координати) се комплексни броеви. Неколку главни типа на поапстрактна математика (вклучително и теоријата на инваријанти, италијанската школа за алгебарска геометрија и Ерлангенската програма на Феликс Клајн која резултираше со проучување на класичните групи) биле мотивирани од проективната геометрија. Исто така, таа беше тема со многу практичари за самата себе, како синтетичка геометрија. Друга тема која се развила од аксиоматските студии на проективната геометрија е конечната геометрија.
Темата проективна геометрија сама по себе сега е поделена на многу истражувачки поттеми, од кои два примера се проективната алгебарска геометрија (проучувањето на проективни сорти) и проективната диференцијална геометрија (проучување на диференцијалните инваријанти на проективните трансформации).
Преглед мини|Основната теорија на проективната геометрија Проективната геометрија е елементарна неметричка форма на геометријата, што значи дека не се заснова на концептот за растојание. Во две димензии започнува со проучување на конфигурации на точки и прави . Дека навистина постои одреден геометриски интерес за оваа ретка поставеност првпат било утврдено од Дезарг и други во нивното истражување на принципите на перспективната уметност. Во повисокодимензионалните простори се разгледуваат хиперрамнините (кои секогаш се среќаваат) и други линеарни потпростори, кои го покажуваат принципот на дуалност . Наједноставната илустрација на дуалноста е онаа во проективната рамнина, каде исказите „две различни точки одредуваат единствена права“ (т.е. правата која минува низ нив) и „две различни прави одредуваат единствена точка“ (т.е. нивната пресечна точка) ја покажуваат истата структура како искази. Проективната геометрија може да се гледа и како геометрија на конструкции само со линијари со една страна. Бидејќи проективната геометрија ги исклучува конструкциите со примена на шестар, нема кружници, нема агли, нема мерења, нема паралели и нема концепт за релацијата Посредство (или „Помеѓу“). Било увидено дека теоремите кои се применуваат на проективната геометрија се поедноставни искази. На пример, сите различни конусни пресеци се еквивалентни во (комплексната) проективна геометрија, а некои теореми за кружниците може да се сметаат како посебни случаи на овие општи теореми.
Во текот на раниот XIX век, работата на Жан-Виктор Понселе, Лазар Карно и други ја воспостави проективната геометрија како независно поле на математиката. Нејзините ригорозни основи биле поставени од Карл фон Штаут и усовршени од италијанците Џузепе Пеано, Марио Пјери, Алесандро Падоа и Џино Фано кон крајот на XIX век. Проективната геометрија, како и афината и Евклидовата геометрија, може да се развие и од Ерлангенската програма на Феликс Клајн; проективната геометрија се карактеризира со инваријанти при трансформации од проективната група.
Затоа, после многу работа на многу голем број теореми во предметот, основите на проективната геометрија биле разбрани. Структурата на инциденцата и двојниот однос се фундаментални инваријанти при проективните трансформации. Проективната геометрија може да се моделира со афина рамнина (или афин простор) на која ѝ се додава права (хиперрамнина) „во бесконечност“ и потоа таа линија (или хиперрамнина) да се третира како „обична“. Даден е и алгебарски модел за правење на проективна геометрија во стилот на аналитичката геометрија со хомогени координати. Од друга страна, аксиоматските студии го откриле постоењето на не-Дезаргејски рамнини, примери кои покажуваат дека аксиомите на инциденцата можат да се моделираат (само во две димензии) од структури кои не се достапни за расудување преку хомогени координатни системи. мини|Мерка за раст и поларните вртлози. Врз основа на работата на Лоренс Едвардс Во смисла на основите, проективната геометрија и подредената геометрија се елементарни бидејќи вклучуваат минимум аксиоми и може да се користат како основа за афината и Евклидовата геометрија . Проективната геометрија не е „подредена“ и затоа претставува посебна основа за геометријата.
Историја
Првите геометриски својства од проективна природа биле откриени во текот на III век од Пап Александриски. Филипо Брунелески (1404–1472) започнал да ја истражува геометријата на перспективности во текот на 1425 година (види ја историјата на перспективностите за потемелна дискусија за работата во ликовната уметност која мотивирала голем дел од развојот на проективната геометрија). Јоханес Кеплер (1571–1630) и Жерар Дезарг (1591–1661) независно го развиле концептот на „точка во бесконечност“. Дезарг развил алтернативен начин на конструирање на перспективни цртежи со генерализирање на употребата на исчезнувачките точки за да го вклучи случајот кога тие се бескрајно далеку. Тој направил Евклидова геометрија, каде паралелните линии се навистина паралелни, во посебен случај на сеопфатен геометриски систем. Студијата на Дезарг за конусните пресеци го привлекла вниманието на 16-годишниот Блез Паскал и му помогнала да ја формулира теоремата на Паскал. Делата на Гаспар Монж на крајот на XVIII и почетокот на XIX век биле важни за последователниот развој на проективната геометрија. Работата на Дезарг била игнорирана сè додека Мишел Шасл не наишол на рачно напишана копија во 1845 година. Во меѓувреме, Жан-Виктор Понселе го објавил основниот трактат за проективна геометрија во текот на 1822 година. Понселе ги испитал проективните својства на објектите (инваријантите при централна проекција) и, базирајќи ја својата теорија на конкретната врска меѓу пол и полара во однос на кружница, воспоставил врска помеѓу метричките и проективните својства. На крајот се покажало дека Неевклидските геометрии, откриени набрзо потоа, имаат модели како што е Клајновиот модел на хиперболичен простор, кој се однесува на проективната геометрија.
Во 1855 A.F. Möbius напишал статија за пермутации, сега наречени Мебиусови трансформации, на генерализирани кружници во комплексната рамнина. Овие трансформации претставуваат проективности на комплексната проективна права. Во проучувањето на линиите во вселената, Јулиус Плукер користел хомогени координати во својот опис, а множеството на линии било гледано на квадриката на Клајн, еден од раните придонеси на проективната геометрија на новото поле наречено алгебарска геометрија, гранка на аналитичката геометрија со идеи за проективности.
Проективната геометрија била корисна при потврдувањето на шпекулациите на Лобачевски и Бољаи во врска со хиперболичната геометрија обезбедувајќи модели за хиперболичната рамнина:John Milnor (1982) Hyperbolic geometry: The first 150 years, Bulletin of the American Mathematical Society via Project Euclid на пример, моделот на кругот на Поанкаре каде генерализираните кругови нормални на единичниот круг одговараат на „хиперболични линии“ (геодезиски линии), а „преводите“ на овој модел се опишани со трансформациите на Möbius кои го пресликуваат единичниот круг во самиот себе. Растојанието помеѓу точките е дадено со метриката на Кејли-Клајн, за која се знае дека е непроменлива при транслации бидејќи зависи од двојниот однос, клучна проективна инваријанта. Транслациите се опишуваат различно како изометрии во теоријата на метрички простори, како линеарни фракциони трансформации формално и како проективни линеарни трансформации на проективната линеарна група, во овој случај SU(1, 1) .
Работата на Понселе, Јакоб Штајнер и други не се очекувало да ја прошири аналитичката геометрија. Техниките требало да бидат синтетички: всушност проективниот простор, како што сега се разбира, требало да биде воведен аксиоматски. Како резултат на тоа, преформулирањето на почетните работи во проективната геометрија, такви што ќе ги задоволат тековните стандарди на строгост, можело да биде прилично тешко. Дури и само во случајот со проективната рамнина, аксиоматскиот пристап можел да резултира со модели кои не се опишуваат преку линеарна алгебра .
Овој период во геометријата бил надминат со истражувањето на општата алгебарска крива од страна на Клебш, Риман, Макс Ноетер и други, кои ги прошириле постоечките техники, а потоа и теоријата на инваријанти. Кон крајот на векот, италијанското училиште за алгебарска геометрија (Енрикес, Сегре, Севери) произлегло од традиционалната материја на предметот во област која бара подлабоки техники.
Во доцниот дел на XIX век, деталното проучување на проективната геометрија станало помалку модерно, иако литературата била обемна. Прилично важна работа е направена особено во нумеративната геометрија од Шуберт, за која сега се смета дека ја предвидела теоријата на класите на Черн, земена како претставување на алгебарската топологија на Грасманианците .
Проективната геометрија подоцна се покажала како клучна за изумот на квантната механика на Пол Дирак. На основно ниво, откритието дека квантните мерења би можело да не комутираат го вознемирило и го одвратило Хајзенберг, но минатите проучувања на проективните рамнини над некомутативните прстени веројатно го десензибилизирале Дирак. Во неговите понапредни трудови, Дирак користел обемни цртежи во проективна геометрија за да го разбере интуитивното значење на неговите равенки, пред да ја напише својата главна работа во исклучиво алгебарски формализам.
[ABC] [ADE] [AFG] [BDG] [BEF] [CDF] [CEG]
Проективната геометрија е помалку рестриктивна од Евклидовата геометрија или од афината геометрија. Тоа е суштински неметрична геометрија, што значи дека фактите се независни од која било метричка структура. При проективните трансформации се зачувува структурата на инциденцата и односот на проективните хармонски конјугати. Проективниот опсег е еднодимензионална основа. Проективната геометрија формализира еден од централните принципи на перспективната уметност: дека паралелните линии се среќаваат во бесконечност, и затоа се цртаат на тој начин. Во суштина, проективната геометрија може да се смета како продолжување на Евклидовата геометрија во која „правецот“ на секоја права е вметнат во правата како дополнителна „точка“ и во која „хоризонтот“ на правците кои одговараат на компланарни прави се смета за „права“. Така, две паралелни прави се сечат во точка на правата на хоризонтот затоа што имаат ист правец.