Тополошките простори — математички објекти кои се состојат од множество заедно со геометриска структура врз истото множество, која овозможува да се разгледува блискоста на точки во множеството. Тополошките простори можат да се сметаат како обопштување метричките простори. Тие наоѓаат примени во голем број гранки на математиката, како на пример во диференцијалната геометрија, алгебарската геометрија, функционалната анализа, теоријата на броеви и други гранки.
Мотивација Нека се метрички простори. Најчесто, интересните функции меѓу метрички простори се тие што се непрекинати. Една функција се нарекува непрекината во , ако за секој постои така што за секој со важи . Таа се нарекува непрекината ако истата е непрекината во секој . Оваа дефиниција го концизира својството дека ако две точки се доволно блиски во , нивните слики во се исто така доволно блиски. Тоа значи дека функцијата не прави гореми скокови во нејзината слика.
Не е тешко да се види дека оваа дефиниција е еквивалентна со својството дека за секое отворено подмножество , предсликата е отворена во . Ова значи дека за да може да се дефинираат непрекинати пресликувања меѓу два простори, доволно е само да се знае кои подмножества на истите простори се отворени.
Исто така не е тешко да се докаже дека во метрички простори, произволни соединенија и конечни пресеци на отворени подмножества се исто така отворени. Овие својства ја мотивираат дефиницијата на тополошките простори.
Дефиниција и поими Нека е множество. Една топологија врз е множество кое се состои од подмножества на , така што: ; за секое индекс-множество и за сите важи ; за секое конечно индекс-множество и за сите важи .
Множествата во се нарекуваат отворени подмножества на .
Еден тополошки простор е пар така што е множество, а е топологија врз .
Ако тополгијата врз е позната од контекстот, истата се испушта, така да тополошкиот простор го означуваме само со .
Поими Подмножество се нарекува затворено, ако е отворено подмножество на . Очигледно се произволни пресеци и конечни соединувања на затворени подмножества исто така затворени. Бидејќи отворените множества во еден тополошки простор можат да се добијат од затворените (и обратно), еден тополошки простор исто така може да биде дефиниран преку неговите затворени подмножества.
Нека е произволно подмножество на . Тогаш ги дефинираме внатрешноста на во како соединувањето на сите отворени подмножества , така што ; затворот на во како пресекот на сите затворени подмножества , така што .
Примери Главен и првичен пример претставуваат метричките простори. Нека е метрички простор. Од индуцираната топологија ја дефинираме како множеството на сите отворени подмножества на . Потсетуваме дека подмножество на метрички простор се нарекува отворено, ако за секој постои така што .
Според овој принцип, реалните броеви и комплексните броеви , како и и заедно со метричката топологија дефинираат тополошки простори.
Дискретен простор Нека е произволно множество. Дискретната топологија врз е топологијата, така што секое подмножество на е отворено, т.е. , каде е множеството на сите подмножества на . Ваквите тополошки простори играат улога во алгебарската геометрија и алгебарската теорија на броеви.
Кофинитна топологија Нека е произволно множество. Множеството кое се состои од сите подмножества , така што е или конечно подмножество, престставува топологија врз .
Потпростори Нека е тополошки простор и нека е подмножество. Тогаш, е топологија врз . Таа се нарекува потпросторната топологија врз .
Непрекинати функции Функција меѓу тополошки простори се нарекува непрекината ако за секое отворено подмножество , предсликата е отворена во . Бидејќи отворените подмножества можат да се добијат од затворените и обратно, еквивалентно може да се бара предсликите на затворени множества да се затворени.
Функција меѓу тополошки простори се нарекува: отворена, ако за секое отворено подмножество сликата е отворена во ; затворена, ако за секое затворено подмножество сликата е затворена во ; хомеоморфизам, ако таа е непрекината, бијективна и нејзината инверзна функција е исто така непрекината; имерзија, ако ограничувањето врз сликата со потпросторната топологија е хомеоморфизам; отворена/затворена имерзија, ако е отворена/затворена и имерзија.
Компактност Компактноста е свјоство на тополошките простори кое означува дека множеството се „однесува како конечно множество“. Во некои метрички простори како , компактните подмножества се тие што се затворени и ограничени (множество се нарекува ограничено ако постои доволно голема топка кое го содржи целото множество).
Компактноста на тополошките простори се дефинира на следниов начин. Нека е тополошки простор. Покрив на е фамилија на отворени подмножества така што . Подпокрив на покрив е подфамилија , каде , така што . Покрив се нарекува конечен, ако е конечно множество. Тогаш, се нарекува компактен тополошки простор, ако секој покрив на содржи конечен подпокрив .
Компактноста е стабилна под хомеоморфија, т.е. ако е компактен простор, и е хомеоморфизам, тогаш и е компактен.
Теорема на Хајне-Борел Како што веќе спомнавме, компактните подмножества на можат поконкретно да се опишат. Теоремата на Хајне-Борел тврди дека подмноество (со потпросторната топологија) е компактно, ако и само ако е ограничено и затворено подмнножество. Со тоа, е компактен. Спротивно, и не се компактни простори.
Други примери
Не е тешко да се види дека дискретен простор е компактен, ако и само ако е конечно множество.
Кофинитните простори се секогаш компактни.
Категорија:Тополошки простори Категорија:Општа топологија